2012-2013学年北京市东城区（南片）高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在直角坐标系中，直线x+y-3-0的倾斜角是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

圆x²+y²=1和圆x²+y²-6y+5=0的位置关系是（ ）
A．内含
B．内切
C．外切
D．外离

3. 难度：中等

如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么实数a等于（ ）
A．-6
B．-3
C．
D．

4. 难度：中等

直线3x-4y-9=0与圆x²+y²=4的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心
B．相切
C．相离
D．相交但不过圆心

5. 难度：中等

由点P（1，3）引圆x²+y²=9的切线的长是（ ）
A．2
B．
C．1
D．4

6. 难度：中等

圆x²+y²-4x+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为（ ）
A．2x-y-5=0
B．x-2y-1=0
C．x-y-2=0
D．x+y-4=0

7. 难度：中等

若P（2，-1）为圆（x-1）²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x-y-3=0
B．2x+y-3=0
C．x+y-1=0
D．2x-y-5=0

8. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，则E到平面ABC₁D₁的距离为 （ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若圆C与圆（x+2）²+（y-1）²=1关于原点对称，则圆C的方程为（ ）
A．（x-2）²+（y+1）²=1
B．（x+1）²+（y-1）²=1
C．（x-1）²+（y+2）²=1
D．（x+1）²+（y-2）²=1

10. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是（ ）
A．+=1
B．+=1
C．+=1
D．+=1

11. 难度：中等

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且丨PF₁丨：丨PF₂丨=2：1，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．4
B．6
C．2
D．4

12. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若方程x²+y²-2x+4y+1+a=0表示的曲线是一个圆，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程    ．

15. 难度：中等

圆x²+y²-4x+4y+4=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于    ．

16. 难度：中等

过圆x²+y²=4外一点P（2，1）引圆的切线，则切线的方程为    ．

17. 难度：中等

椭圆的两焦点把椭圆的对称轴上夹在两准线间的线段三等分，则椭圆的离心率为    ．

18. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁CC₁所成的角为a，则sina=    ．

三、解答题

19. 难度：中等

三角形ABC的三个顶点A（-1，5）B（-2，-2）C（5，5），求
（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程；
（Ⅱ）BC边的垂直平分线DE的方程；
（Ⅲ）三角形ABC的外接圆的方程．

20. 难度：中等

求曲线方程
（Ⅰ）圆C的圆心在x轴上，并且过点A（-1，1）和B（1，3），求圆C的方程；
（Ⅱ）若一动圆P过定点A（1，0）且过定圆Q：（x+1）²+y²=16相切，求动圆圆心P的轨迹方程．

21. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

22. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（1，0），且长轴长是短轴长的倍．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为-1，求△OAB的面积．