2012-2013学年广东省广州市执信中学高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．-
D．

2. 难度：中等

在△ABC中，已知p：三内角A、B、C成等差数列；q：B=60°．则p是q的（ ）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列命题中，真命题的是（ ）
A．若l∥α，且l∥β，则α∥β
B．若l⊥α．且l⊥β，则α∥β
C．若l⊂α，且α⊥β，则l⊥β
D．若l∥α，且α∥β，则l∥β

4. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（2，3）若（）⊥（-），则λ=（ ）
A．-
B．
C．0
D．-7

5. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

6. 难度：中等

若函数f（x）=x²+2x+3a没有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

有下列四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；   
②横坐标变为原来的，再向左平移；
③横坐标变为原来的，再向左平移；     
④向左平移，再将横坐标变为原来的；
其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为的图象的是（ ）
A．①和②
B．①和③
C．②和③
D．②和④

8. 难度：中等

下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③

9. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，若存在两项a_m，a_n，使得，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

二、填空题

11. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，首项a₁=0，公差d≠0，若a_k=a₁+a₂+a₃+…+a₇，则k=    ．

12. 难度：中等

200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为     辆．

13. 难度：中等

阅读流程图：设a=（）^0.2，b=log4，c=2，则输出的数（用字母表示）是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点M（2，）到直线l：ρsin（θ+）=的距离为    ．

15. 难度：中等

AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知sin（π-α）=，α∈（0，）．
（1）求sin2α-cos²的值；
（2）求函数f（x）=cosαsin2x-cos2x的单调递增区间．

17. 难度：中等

为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表（单位：人）

社团	相关人数	抽取人数
模拟联合国	24	a
街舞	18	3
动漫	b	4
话剧	12	c

（1）求a，b，c的值；
（2）若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．

18. 难度：中等

如图（1）所示，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点．现将△ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD⊥平面BCD（如图（2）），
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥C-DEF的体积．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且S_n=1-
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求证c_n+1≤c_n．

20. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

21. 难度：中等

若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x²，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．
（1）求F（x）=h（x）-φ（x）的极值；
（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．