2012-2013学年甘肃省天水一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若命题“p∨q”为真，“¬p”为真，则（ ）
A．p真q真
B．p假q假
C．p真q假
D．p假q真

2. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是（ ）
A．+=1
B．+=1
C．+=1
D．+=1

3. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，x²+2x+2≤0，那么下列结论正确的是（ ）
A．非P：∃x∈R，x²+2x+2＞0
B．非P：∀x∈R，x²+2x+2＞0
C．非P：∃x∈R，x²+2x+2≥0
D．非P：∀x∈R，x²+2x+2≥0

4. 难度：中等

”m＞n＞0”是”方程mx²+ny²=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

2x²-5x-3＜0的一个必要不充分条件是（ ）
A．-＜x＜3
B．-＜x＜0
C．-3＜x＜
D．-1＜x＜6

6. 难度：中等

方程的图象是双曲线，则k取值范围是（ ）
A．k＜1
B．k＞2
C．k＜1或k＞2
D．1＜k＜2

7. 难度：中等

过抛物线x²=4y的焦点F作直线交抛物线于P₁（x₁、y₁），P₂（x₂、y₂）两点，若y₁+y₂=6，则|P₁P₂|的值为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10

8. 难度：中等

已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（ ）
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条

9. 难度：中等

双曲线的两个焦点为F₁、F₂，以F₁F₂为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

椭圆上一点M到焦点F₁的距离为2，N是MF₁的中点，O是椭圆中心，则|ON|的值是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．

11. 难度：中等

已知点P（6，y）在抛物线y²=2px（p＞0）上，F为抛物线焦点，若|PF|=8，则点F到抛物线准线的距离等于（ ）
A．2
B．1
C．4
D．8

12. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F₁，F₂．若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

抛物线y=-x²上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是   

14. 难度：中等

若命题“∃x∈R，x²+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知BC是圆x²+y²=25的弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是    ．

16. 难度：中等

直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支交于不同两个点，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

给定两个命题，P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．

19. 难度：中等

已知命题p：|4-x|≤6，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知点A、B的坐标分别为（-1，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是λ（λ≠0），试讨论点M的轨迹是什么．

21. 难度：中等

已知抛物线y²=6x，过点P（4，1）引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线l的方程．

22. 难度：中等

椭圆的离心率e=，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1时，坐标原点O到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．