2012-2013学年陕西师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

为了得到函数y=sin（2x-）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

3. 难度：中等

设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
A．[-1，2]
B．[0，2]
C．[1，+∞）
D．[0，+∞）

4. 难度：中等

将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．18
B．24
C．30
D．36

5. 难度：中等

已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若S₁=1，，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

6. 难度：中等

已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）
A．[0，）
B．
C．
D．

7. 难度：中等

分别在区间[1，6]，[1，4]内各任取一个实数依次为m，n，则m＞n的概率是（ ）
A．0.3
B．0.667
C．0.7
D．0.714

8. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）


A．
B．
C．1
D．

9. 难度：中等

已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=（x+1）（2x+1）（3x+1）…（nx+1），则f′（0）的值为（ ）
A．C_n²
B．C_n+1²
C．A_n²
D．A_n+1²

二、填空题

11. 难度：中等

二项式的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中含x³项的系数是    ．

12. 难度：中等

一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是    ．

13. 难度：中等

某算法流程图如图所示，则输出的结果是   

14. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为    ．

15. 难度：中等

当a＞1时，关于x的不等式|x-log_ax|＜|x|+|log_ax|的解集是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，锐角B满足．
（1）求的值；
（2）若，当ac取最大值时，求的值．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项为a₁=1，其前n项和为s_n，且对任意正整数n有：n、a_n、S_n成等差数列．
（1）求证：数列{S_n+n+2}成等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

18. 难度：中等

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别为6，4，2．现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？

20. 难度：中等

已知抛物线y²=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x交于点C．
（1）求证：|MA|，|MC|、|MB|成等比数列；
（2）设，，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）=
（1）令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x），判断并证明N（x）在（-1，+∞）上的单调性，并求N（0）；
（2）求f（x）在定义域上的最小值；
（3）是否存在实数m，n满足0≤m＜n，使得f（x）在区间[m，n]上的值域也为[m，n]？
（参考公式：[ln（1+x）′]=）