2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a，b是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

直线与圆x²+y²-2x-2=0相切，则实数m等于（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或

3. 难度：中等

已知•=-12，||=4，和的夹角为135°，则||为（ ）
A．12
B．6
C．
D．3

4. 难度：中等

直线l₁的斜率为2，l₁∥l₂，直线l₂过点（-1，1）且与y轴交于点P，则P点坐标为（ ）
A．（3，0）
B．（-3，0）
C．（0，-3）
D．（0，3）

5. 难度：中等

F₁，F₂是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从焦点F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为．
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线

6. 难度：中等

若，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知S_n表示等差数列{a_n}的前n项和，且=，那么=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，，则的最大值为（ ）
A．3
B．
C．4
D．

10. 难度：中等

如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设f₁（x）=f（x），f_n+1 （x）=f[f_n（x）]，n∈N^*，则函数y=f₄（x）的图象为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在△ABC中，，，，则B=    ．

12. 难度：中等

过点（1，2）总可以作两条直线与圆 x²+y²+kx+2y+k²-15=0 相切，则实数k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与C交于两点A、B，若|AB|=5，则满足条件的l的条数为    ．

14. 难度：中等

已知椭圆的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为    ．

15. 难度：中等

给出下列命题：
①经过空间一点一定可作一条直线与两异面直线都垂直；
②经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；
③已知平面α、β，直线a、b，若α∩β=a，b⊥a，则b⊥α；
④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；
⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知半径为6的圆C与x轴相切，圆心C在直线3x+y=0上且在第二象限，直线l过点P（2，14）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A、B两点且，求直线l的方程．

17. 难度：中等

设m∈R，，且f（-）=f（0），
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且=，求f（x）在（0，B]上的值域．

18. 难度：中等

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为AD中点．
（Ⅰ） 证明MF⊥BD；
（Ⅱ） 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为，求AB的长．

19. 难度：中等

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S₃=，S₆=，b_n=λa_n-n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

20. 难度：中等

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F₂，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x-alnx，．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x，使得f（x）＜g（x）成立，求a的取值范围．