2012-2013学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）期末数学复习试卷（一）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为    ．

2. 难度：中等

已知关于x的不等式（ax-1）（x+1）＜0的解集是，则实数a的取值范围是    ．

3. 难度：中等

设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为    ．

4. 难度：中等

若角α终边落在射线y=-x（x≥0）上，则=    ．

5. 难度：中等

已知非零向量，满足||=||=1，与夹角为120°，则向量的模为    ．

6. 难度：中等

用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是    ．

7. 难度：中等

已知θ是第二象限角，且，则的值为    ．

8. 难度：中等

设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）单调递增区间    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，A=60°，c=，则△ABC的面积为    ．

10. 难度：中等

当时，恒成立，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N⁺，对任意m，n∈N⁺都有：（1）f（m，n+1）=f（m，n）+2；（2）f（m+1，1）=2f（m，1）．则f（11，11）的值为    ．

12. 难度：中等

在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围是    ．

13. 难度：中等

已知定义在（-1，+∞）上的函数，若f（3-a²）＞f（2a），则实数a取值范围为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=2x²+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

设，，（x∈R，m∈R）．
（Ⅰ）若与的夹角为钝角，求x的取值范围；
（Ⅱ）解关于x的不等式．

16. 难度：中等

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D为BC的中点．
（1）若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，求证：AD⊥DC₁；
（2）求证：A₁B∥平面ADC₁．

17. 难度：中等

某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．
（1）试将y表示为x的函数；
（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．

18. 难度：中等

如图，在△ABC中，，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点A₁作直线l与圆E：（x-1）²+y²=2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-2x²+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：=3n²a_n+，a_n≠0，n≥2，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求a的值；
（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a_n}是递增数列．