2012-2013学年广东省珠海一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“x²-1=0”是“x-1=0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

两条直线A₁x+B₁y+C₁=0与A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充分不必要条件是（ ）
A．A₁A₂+B₁B₂=0
B．A₁A₂-B₁B₂=0
C．
D．

3. 难度：中等

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．
B．（x-2）²+（y-1）²=1
C．（x-1）²+（y-3）²=1
D．

4. 难度：中等

若P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上的一点，且，，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3
B．-3＜m＜3
C．m＞3或-3＜m＜2
D．m＞2或-3＜m＜3

6. 难度：中等

过原点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

7. 难度：中等

已知圆（x-3）²+（y+4）²=4和直线y=kx相交于P，Q两点，则的值为（O为坐标原点）（ ）
A．12
B．16
C．21
D．25

8. 难度：中等

已知抛物线x²=y+1上一定点A（-1，0）和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（ ）
A．（-∞，-3]
B．[1，+∞）
C．[-3，1]
D．（-∞，-3]∪[1，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

如果A（3，1），B（-2，k），C（8，11）三点在同一条直线上，那么k的值是    ．

10. 难度：中等

圆x²+y²+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的共有    个．

11. 难度：中等

椭圆的焦点F₁、F₂，点P为其上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P横坐标的取值范围是    ．

12. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则它的方程是    ．

13. 难度：中等

已知A（4，0），B（2，2），M为椭圆上的点，则的最小值为    ．

14. 难度：中等

设O是坐标原点，F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60^°，则为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点．
（1）求AB边所在的直线方程；
（2）求中线AM的长．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x²+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．

17. 难度：中等

设F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，A为抛物线上任意一点，以F为圆心，|AF|为半径画圆，与x轴负半轴交于B点，试判断过A，B的直线与抛物线的位置关系，并证明．

18. 难度：中等

设P（x，y）为椭圆上的动点，A（a，0）（0＜a＜3）为定点，已知|AP|的最小值为1，求a的值．

19. 难度：中等

设双曲线的右焦点为F₂，过点F₂的直线l与双曲线C相交于A，B两点，直线l的斜率为，且；
（1）求双曲线C的离心率；
（2）如果F₁为双曲线C的左焦点，且F₁到l的距离为 ，求双曲线C的方程．

四、填空题

20. 难度：中等

如图，椭圆C：，a，b为常数），动圆，b＜t₁＜a．点A₁，A₂分别为C的左，右顶点，C₁与C相交于A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆与C相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．