2012-2013学年北京市海淀区北师特学校高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（ ）
A．
B．
C．y=x³
D．y=tan

3. 难度：中等

已知命题p：∃x≥0，2^x=3，则（ ）
A．¬p：∀x＜0，2^x≠3
B．¬p：∀x≥0，2^x≠3
C．¬p：∃x≥0，2^x≠3
D．¬p：∃x＜0，2^x≠3

4. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和是S_n，若a₁+a₂=5，a₃+a₄=9，则S₁₀的值为（ ）
A．55
B．60
C．65
D．70

5. 难度：中等

在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线在同一平面内的射影平行或重合
B．垂直于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．平行于同一直线的两个平面平行

6. 难度：中等

若直线x-y+1=0与圆（x-a）²+y²=2有公共点，则实数a取值范围是（ ）
A．[-3，-1]
B．[-1，3]
C．[-3，1]
D．（-∞，-3]∪[1，+∞）

7. 难度：中等

不等式|x+3|+|x-1|≥a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，3]
B．[-1，3]
C．（-∞，4]
D．[4，+∞）

8. 难度：中等

设双曲线的-个焦点为F；虚轴的-个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A、B、C，若b=1，，，则c=    ．

10. 难度：中等

已知实数对（x，y）满足，则2x+y的最小值是    ．

11. 难度：中等

已知正数a、b满足2a+b=10，则的最小值为    ．

12. 难度：中等

设是单位向量，且，则向量的夹角等于    ．

13. 难度：中等

已知抛物线y²=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2）．则|PA|+|PF|的最小值是    ，取最小值时P点的坐标    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…f（2010）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

（1）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，求三棱锥的体积．
（2）过直角坐标平面xOy中的抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．用p表示A，B之间的距离．

17. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，
（Ⅰ）求证：MD∥平面APC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．

18. 难度：中等

已知函数．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点N（2，0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l斜率的取值范围．

20. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，S_n=b₁+b₂+…b_n，求使  成立的正整数n的最小值．