2012-2013学年浙江省宁波四中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若A为全体正实数的集合，R为实数集，B={-2，-1，1，2}，则下列结论中正确的是（ ）
A．A∩B={-2，-1}
B．（∁_RA）∪B=（-∞，0）
C．A∪B={0，+∞}
D．（∁_RA）∩B={-2，-1}

2. 难度：中等

“a＞1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知函数则=（ ）
A．
B．e
C．
D．-e

4. 难度：中等

设函数的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（ ）
A．
B．
C．
D．4

6. 难度：中等

数列{a_n}满足a_n=-2n+11，则使得前n项和S_n＞0的最大值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

7. 难度：中等

若MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）
A．垂直但不相交
B．平行
C．相交但不垂直
D．异面

8. 难度：中等

设函数f（x）=g（x）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．4
B．-
C．2
D．-

9. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，a、b的等差中项等于，设，，则x+y的最小值等于（ ）
A．
B．5
C．
D．6

10. 难度：中等

已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上满足f′（x）＞0，则满足f（x²-2x）＜f（x）的X的取值范 围是（ ）
A．（1，3）
B．（-∞，-3）∪（3，+∞）
C．（-3，3）
D．（-3，1）

二、填空题

11. 难度：中等

已知，则cos2θ=    ．

12. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₄+a₅+a₆=450，则a₂+a₈的值为    ．

13. 难度：中等

如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

如果点P在不等式组所确定的平面区域内，O为坐标原点，那么|PO|的最小值为    ．

15. 难度：中等

设两圆C₁、C₂都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C₁C₂|=    ．

16. 难度：中等

已知椭圆，椭圆C₂以椭圆C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率，则椭圆C₂的标准方程为    ．

17. 难度：中等

已知非零向量，的夹角为60°，且满足，，则的最大值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数，
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）若f（x）＜m+2在上恒成立，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

设二次方程，n∈N₊有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1
（1）试用a_n表示a_n+1；            
（2）证明是等比数列；
（3）设，n∈N₊，T_n为{c_n}的前n项和，证明：（n∈N₊）．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．

21. 难度：中等

已知f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最小值和最大值．

22. 难度：中等

已知抛物线C的顶点是坐标原点，对称轴是x轴，且点P（1，-2）在该抛物线上，A，B是该抛物线上的两个点．
（Ⅰ）求该抛物线的标准方程及焦点坐标；
（Ⅱ）若直线AB经过点M（4，0），证明：以线段AB为直径的圆恒过坐标原点；
（Ⅲ）若直线AB经过点N（0，4），且满足，求直线AB的方程．