2012-2013学年江西省吉安一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，其中有一条边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A．16
B．64
C．16或64
D．以上都不对

3. 难度：中等

“ab＞0”是“方程ax²+by²=1表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若直线（3-a）x+（2a-1）y+7=0与直线（2a+1）x+（a+5）y-6=0互相垂直，则a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

5. 难度：中等

圆x²+y²+2x-2y-2=0和圆x²+y²-4x+2y+1=0的公切线的条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（ ）
A．若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α
B．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥β
C．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥b
D．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α

7. 难度：中等

若过点A（4，0）的直线l与曲线（x-2）²+y²=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知命题p：存在x∈R，x²+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜0
B．a＜1
C．0＜a＜1
D．-1＜a＜1

9. 难度：中等

直线l与椭圆交于不同的两点P₁、P₂，线段P₁P₂的中点为P，设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂（O点为坐标原点），则k₁•k₂的值为（ ）
A．
B．-1
C．-2
D．不能确定

10. 难度：中等

在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∀x∈R，x³-x²+1＞0”的否定是    ．

12. 难度：中等

已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为    ．

13. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=4x的动点，A（1，0），B（4，2），则|PA|+|PB|的最小值是    ．

14. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成的角的余弦值为     ．

15. 难度：中等

若F是双曲线的一个焦点，P₁、P₂、P₃、P₄是双曲线上同一支上任意4个不同的点，且，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：x²-7x+10≤0，命题q：x²-2x+1-a²≤0（a＞0），若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

17. 难度：中等

已知两直线l₁：ax-by+4=0，l₂：（a-1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．
（1）直线l₁过点（-3，-1），并且直线l₁与l₂垂直；
（2）直线l₁与直线l₂平行，并且坐标原点到l₁，l₂的距离相等．

18. 难度：中等

已知直角△OAB的直角顶点O为原点，点A、B在抛物线y²=2px（p＞0）上，原点在直线AB上的射影为点D（2，1），求抛物线的方程．

19. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥D-AB₁F的体积；
（3）试在AA₁上找一点E，使得BE∥平面ADF．

20. 难度：中等

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax-y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（-2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中心，P为半圆弧上一点，且AB=4，∠POB=30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；
（2）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，若△OEF的面积不小于，求直线l的斜率的取值范围．