2012-2013学年浙江省台州中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列说法中正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面

2. 难度：中等

关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m
B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α

3. 难度：中等

在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7平行的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

5. 难度：中等

三棱锥P-ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心

6. 难度：中等

圆x²+2x+y²+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

（理科做）如右图，多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB₁C₁D₁而截得的，且BB₁=DD₁，已知截面AB₁C₁D₁与底面成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设O为坐标原点，点A（1，1），若点B（x，y）满足，则 取得最大值时，点B的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个

9. 难度：中等

在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则A-BCD的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知二面角α-l-β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α，β所成的角都是25°的直线的条数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

二、填空题

11. 难度：中等

已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是    ．

12. 难度：中等

长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为    ．

13. 难度：中等

集合A={（x，y）|x²+y²=4}，B={（x，y|（x-3）²+（y-4）²=r²）}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是    ．

14. 难度：中等

已知M（x，y）是圆x²+y²=r²（r＞0）内异于圆心的一点，则直线xx+yy=r²与此圆有何种位置关系？

15. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，则BC与平面A′CD所成的角的正弦值为    ．

16. 难度：中等

经过原点的直线l与圆C：x²+（y-4）²=4有公共点，则直线l的斜率的取值范围是    ．

17. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱AD，DD₁，D₁A₁，A₁A的中点，M是AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则N满足条件    时，有MN⊥A₁C₁．

三、解答题

18. 难度：中等

设命题p：（4x-3）²≤1；命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

20. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AD，DD₁的中点，AB=BC=2，A₁A=2
（Ⅰ）求证：EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）在线段BC₁是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知点P（2，0）及圆C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
（Ⅱ）设过P直线l₁与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

如图：在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角60°
（Ⅰ）求证：平面MAP⊥平面SAC；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的平面角的正切值；
（Ⅲ）求AP和CM所成角的余弦值．