2012-2013学年河南省驻马店市确山二中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

现从80件产品中随机抽出10件进行质量检验，下面说法正确的是（ ）
A．80件产品是总体
B．10件产品是样本
C．样本容量是80
D．样本容量是10

2. 难度：中等

某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为（ ）
A．45，75，15
B．45，45，45
C．30，90，15
D．45，60，30

3. 难度：中等

命题“∃x∈R，x³-2x+1=0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x³-2x+1≠0
B．不存在x∈R，x³-2x+1≠0
C．∀x∈R，x³-2x+1=0
D．∀x∈R，x³-2x+1≠0

4. 难度：中等

已知，，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．x=1，y=-1

5. 难度：中等

方程ax²+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ）
A．0＜a≤1
B．a＜1
C．a≤1
D．0＜a≤1或a＜0

6. 难度：中等

如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．84，4.84
B．84，1.6
C．85，4
D．85，1.6

7. 难度：中等

有下列4个命题：①“菱形的对角线相等”； ②“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；③“面积相等的三角形全等”的否命题；④“若a＞b，则a²＞b²”的逆否命题．其中是真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（ ）

A．20
B．25
C．30
D．35

9. 难度：中等

如图，是计算函数y=的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（ ）
A．y=-x，y=0，y=x²
B．y=-x，y=x²，y=0
C．y=0，y=x²，y=-
D．y=0，y=-x，y=x²

10. 难度：中等

若，且，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

11. 难度：中等

袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个（每个小球被摸到是等可能的），则至少摸出1个黑球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，四边形ABCD是一个边长为1的正方形，△MPN是正方形的一个内接正三角形，且MN∥AB，若向正方形内部随机投入一个质点，则质点恰好落在△MPN的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于    ．

14. 难度：中等

如图所示的算法框图，输入m=-1，则输出w=    ．

15. 难度：中等

已知点A（1，-2，11）、B（4，2，3），C（6，-1，4），则△ABC的形状是    ．

16. 难度：中等

下列四个命题中
①“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π”的充要条件；
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件；
③函数的最小值为2
其中假命题的为    将你认为是假命题的序号都填上）

三、解答题

17. 难度：中等

已知p：x²-8x-20＞0，q：x²-2x+1-a²＞0．若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．

18. 难度：中等

设：P：指数函数y=a^x在R内单调递减； Q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果P∨Q为真，￢Q也为真，求a的取值范围．

19. 难度：中等

某班有学生56名，其中男生32名，女生24名，现决定从该班学生中抽取7名学生的研究性学习综合评价等级得分（成绩分为1～5分的五个档次）作为样本．
（1）如果按性别比例分层抽样，则男、女生分别抽取多少人？
（2）若这7位同学的研究性学习综合评价等级得分如下表：

等级得分	1	2	3	4	5
人数		1	1	2	3

①求样本的平均数及方差；
②用简单随机抽样方法从这7名学生中抽取2名，他们的得分分别为x，y，求|y-x|=2的概率．

20. 难度：中等

某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温（℃）	18	13	10	-1
用电量（度）	24	34	38	64

根据表中数据求：（1）用电量y度与气温x℃之间的线性回归关系；
（2）由（1）求得的回归方程预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为多少；
（ b=（）/（）   a=-b．）

21. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求的长；
（2）求，＞的值；
（3）求证A₁B⊥C₁M．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2ax+b，a，b∈R．
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．