2012-2013学年浙江省杭州市建德市新安江中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知直线的方程为x+2y-6=0，则该直线的斜率为（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

2. 难度：中等

圆C：x²+y²-6x+8y=0的圆心坐标为（ ）
A．（3，4）
B．（-3，4）
C．（-3，-4）
D．（3，-4）

3. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AC₁与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b和α的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．b在α内
D．平行、相交或b在α内

6. 难度：中等

设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
D．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β

7. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC₁所成的角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．A₁C⊥平面AEF
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE、BF所成的角为定值

9. 难度：中等

正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

直线x=±m（0＜m＜2）和y=kx把圆x²+y²=4分成四个部分，则k与m满足的关系为（ ）
A．（k²+1）m²≥4
B．
C．（k²+1）m²=4
D．（k²+1）m²≤4

二、填空题

11. 难度：中等

已知一个球的表面积为100πcm²，则这个球的体积为    cm³．

12. 难度：中等

已知直线过点A（2，3），斜率为-，则此直线的方程    ．

13. 难度：中等

已知直线l₁：（k-3）x+（5-k）y+1=0与l₂：2（k-3）x-2y+3=0垂直，则k的值是    ．

14. 难度：中等

已知方程为x²+y²-3x+ay-3=0表示圆，则a的范围    ．

15. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为    ．

16. 难度：中等

在二面角α-l-β中，A∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=，则二面角α-l-β的余弦值为    ．

17. 难度：中等

已知点P（2，3），从点P引圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，则切线方程为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

（1）已知直线l₁：mx+2y+1=0与直线平行，求直线l₁的方程；
（2）若直线l₁：mx+2y+1=0被圆x²+y²-2x+2y-2=0所截得的线段长为2，求直线l₁的方程．

19. 难度：中等

如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD
（1）求证：CD⊥平面ADS；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值．
（3）求点A到面SBC的距离．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1和，AP=2，E，F依次是PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

21. 难度：中等

已知圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB的面积的最小值．