2012-2013学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若x，y∈R，则“x＞1或y＞2”是“x+y＞3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E为AA₁中点，则异面直线BE与CD₁所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．
其中正确的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

7. 难度：中等

若椭圆上一点P到两焦点F₁、F₂的距离之差为2，则△PF₁F₂是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形

8. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．2000cm³
D．4000cm³

9. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且．空间一点O到点P，A，B，C的距离相等，则这个距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（ ）
A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．直线

二、填空题

11. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使x²+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为    ．

12. 难度：中等

以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是    ．

13. 难度：中等

已知P为双曲线上一点，F₁，F₂为该双曲线的左、右焦点，若，则△F₁PF₂的面积为    ．

14. 难度：中等

已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为    ．

15. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，给出下列四个命题：
①如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；
②如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心；
③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1；
④如果三棱锥P-ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设命题p：函数是R上的减函数，命题q：函数f（x）=x²-4x+3在[0，a]的值域为[-1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°E为PA中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求证：平面PAD⊥平面PDB．

18. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求二面角A-BD₁-C的大小；
（2）求BD₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

19. 难度：中等

已知椭圆过点，，P（x，y）是椭圆上任一点，O是坐标原点，△PAB椭圆C的内接三角形，且O是△PAB的重心．
（1）求a、b的值，并证明AB所在的直线方程为xx+2yy+1=0；
（2）探索△PAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值．