2012-2013学年湖北省荆州中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若直线l的倾斜角的正弦值为，则直线l的斜率为（ ）
A．
B．
C．或
D．或

2. 难度：中等

已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（ ）
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；        
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥a；        
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

3. 难度：中等

如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）

A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③④

4. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（ ）
A．
B．20π
C．
D．28π

5. 难度：中等

如图中程序语句输出的结果是（ ）
A．17
B．19
C．60
D．77

6. 难度：中等

如图，输入a，b，c三个实数，要求输出这三个数中最大的数，那么在空的判断框中，应该填入的是（ ）
A．c＞x？
B．c＜x？
C．c＞b？
D．b＞c？

7. 难度：中等

a，b∈R，已知直线x+a²y+1=0与（a²+1）x-2by+3=0互相垂直，则|ab|的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

如图，三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AC=BC
B．VC⊥VD
C．AB⊥VC
D．S_△VCD•AB=S_△ABC•VO

9. 难度：中等

若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设点P（x，y）是圆x²+y²=1外一点，PS，PT是圆的两条切线，S，T是切点．则的最小值为（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

如图所示，输出的n值为    ．

12. 难度：中等

用秦九韶算法求n次多项式，当x=x时的值，需要的乘法运算、加法运算的次数一共是    ．

13. 难度：中等

M为z轴上一点，M到A（1，0，2）、B（1，-3，1）的距离相等，M的坐标为    ．

14. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中对角线AC₁与过A点的三个面ABCD，AA₁B₁B、AA₁D₁D所成的角分别为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=    ．

15. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时P点位置是原点，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（）时，的坐标为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b＞0），若分别以这两条边及斜边为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积分别为V_a，V_b，V，试比较V_a，V_b，V的大小．

17. 难度：中等

已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0．AC边上的高BH所在直线为x-2y-5=0．求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．

18. 难度：中等

圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦；
（1）当时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程．

19. 难度：中等

如图，边长为2的正方形ABCD中，
（1）E、F是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使AC两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF；
（2）若BE=BF=λBC，求λ的范围并求三棱锥A′-EFD的体积．

20. 难度：中等

如图，已知平面α∥β∥γ，直线a，b分别交α，β，γ于点A，B，C和D，E，F，
（1）求证：；
（2）若AB=1，BC=2，AD=3，CF=6，当AD与CF所成的角为60时，求BE的长．

21. 难度：中等

已知圆C的圆心在直线l：3x-y=0上，且与直线l₁：x-y+4=0相切．
（1）若直线x-y=0截圆C所得弦长为，求圆C的方程．
（2）若圆C与圆x²+y²-4x-12y+8=0外切，试求圆C的半径．
（3）满足已知条件的圆显然不只一个，但它们都与直线l₁相切，我们称l₁是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由．