2012-2013学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

圆（x-1）²+y²=1的圆心到直线的距离是（ ）
A．
B．
C．1
D．

2. 难度：中等

两条直线A₁x+B₁y+C₁=0，A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充要条件是（ ）
A．A₁A₂+B₁B₂=0
B．A₁A₂-B₁B₂=0
C．
D．

3. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm²）为（ ）
A．48+12
B．48+24
C．36+12
D．36+24

4. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（ ）
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊂α，n∥α，则m∥n
D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n

6. 难度：中等

平面内到两定点的距离之比为1：2的动点的轨迹是（ ）
A．线段
B．直线
C．圆
D．椭圆

7. 难度：中等

已知直线l方程为f（x，y）=0，P₁（x₁，y₁）和P₂（x₂，y₂）分别为直线l上和l外的点，则方程f（x，y）-f（x₁，y₁）-f（x₂，y₂）=0表示（ ）
A．过点P₁且与l垂直的直线
B．与l重合的直线
C．过点P₂且与l平行的直线
D．不过点P₂，但与l平行的直线

8. 难度：中等

如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A．
B．5
C．6
D．

9. 难度：中等

若直线=1与图x²+y²=1有公共点，则（ ）
A．a²+b²≤1
B．a²+b²≥1
C．
D．

10. 难度：中等

给出命题：
①设l、m位直线，α为平面，若直线l∥m，且m⊂α，则l∥α；
②若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；
③设m、n是一对异面直线，则存在平面α，使m⊂α且n∥α；
④若一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，则这两个二面角的平面角相等或互补．
上述命题中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆+=1的两个焦点，过F₁的直线交椭圆于A、B两点．若|F₂A|+|F₂B|=12，则|AB|=    ．

12. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁B与平面A₁B₁CD 所成的角的大小等于    ．

13. 难度：中等

已知集合A={x|x²-3x-10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于    ．

15. 难度：中等

直线y=x+b与曲线有且有一个公共点，则b的取值范围是    ．

16. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都为2，过底面上一边AB作平面α，使α与底面ABC成60°的二面角，则正三棱柱被平面α截得的截面面积为    ．

17. 难度：中等

过点P（2，3）作圆x²+y²=1的两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB的方程为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，已知点A（5，-2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线MN的方程．

19. 难度：中等

已知c＞0，设P：函数y=c^x在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

20. 难度：中等

某几何体的一棱长为，它在正视图中的射影长为，它在侧视图、俯视图中的投影分别为a、b．联想长方体…
（1）求a²+b²的值；
（2）求a+b的最大值．

21. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，CD∥AB，，，E为PD中点．
（1）求证：直线AE∥平面PBC；
（2）求证：平面APD⊥平面PDC；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．

22. 难度：中等

设二次函数f（x）=x²+2x+m的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求圆C的方程．问圆C是否经过定点？若有，求出定点的坐标，并证明你的结论．