2012-2013学年江苏省扬州市江都市丁沟中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为    ．

2. 难度：中等

过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是    ．

3. 难度：中等

以点A（-5，4）为圆心，且与x轴相切的圆的方程是    ．

4. 难度：中等

甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm²）

品种	第1年	第2年	第3年	第4年	第5年
甲	9.8	9.9	10.1	10	10.2
乙	9.4	10.3	10.8	9.7	9.8

其中产量比较稳定的小麦品种是     ．

5. 难度：中等

若直线l₁：ax+（1-a）y=3与l₂：（a-1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则实数a的值为    ．

6. 难度：中等

下列伪代码输出的结果是    ．

7. 难度：中等

若点（-1，1）在圆（x-a）²+（y+2）²=25外，则实数a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

已知两条直线a₁x+b₁y+1=0和a₂x+b₂y+1=0都过点A（2，3），则过两点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直线方程为    ．

9. 难度：中等

已知直线l过点M（3，-4），且在两坐标轴上的截距相等，则l的方程为    ．

10. 难度：中等

已知实数x，y满足关系：x²+y²-2x+4y-20=0，则x²+y²的最小值    ．

11. 难度：中等

已知圆C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0，当直线l被C截得弦长为时，则a=    ．

12. 难度：中等

直线y=-x-b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是    ．

13. 难度：中等

若直线y+xsinθ+3=0的倾斜角为α，则α的取值范围为    ．

14. 难度：中等

若直线m被两平行线l₁：x-y+1=0与l₂：x-y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是    （写出所有正确答案的序号）

二、解答题

15. 难度：中等

为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛． 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：
（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第五组第一位学生的编号；
（2）填充频率分布表的空格（直接填在表格内），并作出频率分布直方图；
（3）若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？

分组	频数	频率
60.5～70.5		0.16
70.5～80.5	10
80.5～90.5	18	0.36
90.5～100.5
合计	50

16. 难度：中等

已知直线（2m²+m-3）x+（m²-m）y=4m-1．
（1）当m为何值时，直线倾斜角为45°？
（2）当m为何值时，直线与x轴平行？
（3）当m为何值时，直线与直线2x-3y=5垂直？
（4）当m为何值时，直线与直线2x-3y=5平行？

17. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．

18. 难度：中等

在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m）（）

19. 难度：中等

已知圆M的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

20. 难度：中等

已知圆C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（a，0）．
（Ⅰ）若l₁、l₂都和圆C相切，求直线l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）当a=2时，若圆心为M（1，m）的圆和圆C外切且与直线l₁、l₂都相切，求圆M的方程；
（Ⅲ）当a=-1时，求l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值．