2012-2013学年福建省福州三中高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，集合B={3，5}，则B∪C_UA=（ ）
A．{5}
B．{1，2，3，4，5}
C．{1，3，5}
D．∅

2. 难度：中等

i是虚数单位，则复数z=i（1-i）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

下列命题中，真命题的个数有（ ）
①；
②∃x∈R，x²+2x+2＜0；
③函数y=2^-x是单调递减函数．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

4. 难度：中等

若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（ ）
A．sin
B．cos
C．sin2
D．cos2

5. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁a₂=5，a₇a₈=10，则a₄a₅=（ ）
A．
B．6
C．7
D．

6. 难度：中等

函数的零点一定位于区间（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

7. 难度：中等

已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，若m⊂β，n⊂β，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊥α，则n⊥m
C．若m∥α，n∥α，则α∥β
D．若α⊥β，n⊥α，则n⊥α

8. 难度：中等

向量的夹角为60°，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

我们将底面是正方形，侧棱长都相等的棱锥称为正四棱锥．已知由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都相同，且如图所示，视图中四边形ABCD是边长为1的正方形，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图为函数的部分图象，则函数解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若关于x的不等式x²-2ax+a²-ab+4≤0恰有一个解，则a²+b²的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

12. 难度：中等

定义在R上的函数，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞3，则有（ ）
A．f（x₁）＞f（x₂）
B．f（x₁）＜f（x₂）
C．f（x₁）=f（x₂）
D．f（x₁），f（x₂）的大小不确定

二、填空题

13. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂+a₈=10，则S₉的值为    ．

14. 难度：中等

已知圆锥的轴截面（过旋转轴的截面）是等边三角形，则沿母线展开所得扇形的圆心角是    ．

15. 难度：中等

当x，y满足不等式组时，点（4，8）为目标函数z=ax+2y（a＜0）取得最大值时的唯一最优解，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

把数列{2n+1}（n∈N^*），依次按第1个括号一个数，第2个括号两个数，第3个括号三个数，第4个括号四个数，第5个括号一个数，…，循环为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则2013是第    个括号内的数．

三、解答题

17. 难度：中等

在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cosA=，sinB=．
（Ⅰ）求cos（A+B）的值；（Ⅱ）若a=4，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

已知等比数列．
（1）求c的值并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

已知
（1）当函数f（x）取得最小值时，求向量夹角的余弦值；
（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=5．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求三棱锥E-ABD的体积．

21. 难度：中等

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与2a-x和x-a的乘积成正比；②；③y＞0．
（I）设y=f（x），求f（x）表达式，并求y=f（x）的定义域；
（II）求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0）在x=0处的切线方程为2x-y-1=0；
（1）求实数c，d的值；
（2）若对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，试求实数b的取值范围．