2012-2013学年浙江省宁波市海曙区效实中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知随机变量X的分布列如图，则p的值为（ ）

X	1	2	3
P		P

A．
B．
C．
D．1

2. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线B₁C与A₁C₁所成角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

3. 难度：中等

口袋内放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a_n}为．如果S_n为数列{a_n}的前n项和，那么S₇=3的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如果的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的含x³项的系数为（ ）
A．
B．
C．20
D．-20

5. 难度：中等

若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（ ）
A．18种
B．19种
C．10种
D．9种

6. 难度：中等

某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC，BC的中点分别是D，E，将△CDE沿DE折起，使得C-DE-A为直二面角，此时斜边AC被折成折线ADC，则∠ADC等于（ ）
A．150°
B．135°
C．120°
D．90°

8. 难度：中等

某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，两人的所有射击都是相互独立的．在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．若计划在2012年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为X，则E（X）的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

记集合A={1，2，3，4，5，6}，，将M中的元素按从小到大的顺序排列，则第70个元素是（ ）
A．0.264
B．0.265
C．0.431
D．0.432

10. 难度：中等

设a，b，m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记作a≡b（bmodm），已知a=1+C₂₀¹+2C₂₀²+…+2¹⁹C₂₀²⁰，且a≡b（bmod10），则b的值可为（ ）
A．2012
B．2011
C．2010
D．2009

二、填空题

11. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20，30]元的同学有30人，则n的值为    ．

12. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面A₁DB的距离为    ．

13. 难度：中等

将6人分成3组，要求每组至少1人至多3人，则不同的分组种数是    ．

14. 难度：中等

2011年8月米兰双雄来北京举行意大利超级杯比赛，比赛期间有来自A大学2名学生和B大学4名学生共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到球场里服务，至少有一名A大学志愿者的概率为    ．

15. 难度：中等

在多项式的展开式中，常数项为    ．

16. 难度：中等

有编号分别为1，2，3，4，5，6的6个红球和6个黑球，从中取出3个，则取出的编号互不相同的概率为    ．

17. 难度：中等

有6个大小不同的数按如图的形式排列，设第一行的数为M₁，第二、三行中的最大数分别为M₂，M₃，则满足M₁＜M₂＜M₃的所有排列的个数是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

若，其中；
（1）求实数a的值；
（2）求的值．

19. 难度：中等

有甲、乙、丙、丁、戊5位同学；
（1）若这5位同学排成一排，则甲不能站在第一位的排法有多少种？
（2）若这5位同学排成一排，则甲乙必须相邻，丙丁必须不相邻的排法有多少种？
（3）若这5位同学参加唱歌、跳舞、下棋、绘画4项比赛，每项比赛至少有一人参加，每名同学必须也只能参加一项比赛，其中甲同学不能参加跳舞比赛，共有多少种参赛方案？

20. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，PA⊥CD，且；
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求二面角A-PB-C的正弦值；
（3）若E，F，M为AB，CD，PB的中点，在线段EF上是否存在点N，使得MN⊥平面PAB；若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响；
（1）假设这名射手射击3次，求恰有两次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加2分．记ξ为射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列及其数学期望．

22. 难度：中等

如图，已知矩形AA₁B₁B中，AA₁=2，AB=1，若矩形AA₁C₁C是矩形AA₁B₁B绕AA₁旋转而成，记二面角B-AA₁-C的大小为θ，θ∈（0，π），E是BC的中点．
（1）求证：无论θ为何值，A₁C∥平面AEB₁；
（2）求直线AB与平面ACB₁所成角的正弦值的取值范围．