2012-2013学年浙江省宁波市海曙区效实中学高一（上）期中数学试卷（1-2班）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p为真命题，命题q为假命题，则由它们组成的“p∨q”“p∧q”“￢p”“￢q”形式的复合命题中，真命题有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

2. 难度：中等

若直线l的斜率k满足，则l的倾斜角α的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知圆的方程为x²+y²-6x-8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40

4. 难度：中等

双曲线的焦点到渐近线的距离等于（ ）
A．
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

“a=1”是“直线ax+（2-a）y=0和x-ay=1互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

光线沿直线y=2x+1入射到直线x+y+5=0后反射，则反射光线所在直线方程为（ ）
A．2x+y+7=0
B．x-2y-4=0
C．x-y-1=0
D．x+2y+8=0

7. 难度：中等

已知F₁，F₂为椭圆的左右焦点，在此椭圆上存在点P，使∠F₁PF₂=60°，且|PF₁|=2|PF₂|，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长为6，AB的中点到y轴的距离为2，则该抛物线的方程是（ ）
A．y²=8
B．y²=6
C．y²=4
D．y²=2

9. 难度：中等

圆x²+y²+2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则b-a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，-3）
C．（1，+∞）
D．（-3，+∞）

10. 难度：中等

设双曲线（a，b＞0）两焦点为F₁、、F₂，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F₂作∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为M，则M点轨迹是（ ）
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分
D．圆的一部分

二、填空题

11. 难度：中等

已知x，y满足，则z=2x+y的最小值为    ．

12. 难度：中等

过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程是    ．

13. 难度：中等

已知A，B为抛物线y²=2x上两动点，O为坐标原点且OA⊥OB，若直线AB的倾斜角为135°，则S_△AOB=    ．

14. 难度：中等

已知以抛物线y²=4x过焦点的弦为直径且圆心在第四象限的圆截y轴所得弦长为4，那么该圆的方程是    ．

15. 难度：中等

已知A，B，P为椭圆上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该椭圆的离心率为    ．

16. 难度：中等

已知抛物线和圆，直线l过C₁焦点，从左到右依次交C₁，C₂于A，B，C，D四点，则=    ．

17. 难度：中等

若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知⊙C的圆心在x轴上，直线y=x截⊙C所得弦长为2，且⊙C过点．
（1）求⊙C方程；
（2）设P（x，y）为⊙C上任一点，求（x-1）²+（y+3）²的最大值．

19. 难度：中等

已知双曲线C的焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），一条渐近线方程为，过F₁的直线l交双曲线于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若A，B分别在左右两支，求直线l斜率的取值范围；
（3）若直线l斜率为1，求△ABF₂的周长．

20. 难度：中等

已知点F（1，0），动点P到直线x=-2的距离比到F的距离大1．
（1）求动点P所在的曲线C的方程；
（2）A，B为曲线C上两动点，若|AF|+|BF|=4，求证：AB垂直平分线过定点，并求出该定点．

21. 难度：中等

已知椭圆的右焦点F（1，0），离心率为e．
（1）若，求椭圆方程；
（2）设直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF，BF的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上．
（i）将k表示成e的函数；
（ii）当时，求k的取值范围．

22. 难度：中等

已知点M（2，0），P为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一动点，若|PM|的最小值为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知⊙M：（x-2）²+y²=r²（r＞0），过原点O作⊙M的两条切线交抛物线于A，B两点，若直线AB与⊙M也相切．
（i）求r的值；
（ii）对于点Q（t²，t），抛物线C上总存在两个点R，S，使得△QRS三边与⊙M均相切，求t的取值范围．