2012-2013学年广东省广州市越秀区铁一中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A={1，2，4，6}，B={3，4，5}，U={1，2，3，4，5，6}，求C_uA∪B=（ ）
A．{1，2，3，4，5，6}
B．{1，2，4，6}
C．{2，4，5}
D．{3，4，5}

2. 难度：中等

已知向量与向量的夹角为120，若向量且，则的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知等于（ ）
A．-7
B．-
C．
D．7

4. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）

A．27
B．30
C．33
D．36

5. 难度：中等

有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数f（x）=x-[x]，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最大值为1
B．方程有且仅有一个解
C．函数f（x）是周期函数
D．函数f（x）是增函数

7. 难度：中等

已知实数x，y满足，则x+3y的最大值是（ ）
A．
B．3
C．4
D．

8. 难度：中等

在各项均不为零的等差数列{a_n}中，若a_n+1-a_n²+a_n-1=0（n≥2），则S_2n-1-4n=（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

9. 难度：中等

如图，从双曲线的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为（ ）
A．|MO|-|MT|＞b-a
B．|MO|-|MT|＜b-a
C．|MO|-|MT|=b-a
D．以上三种可能都有

10. 难度：中等

函数y=f（x），是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）无零点，设函数F（x）=f²（x）+f²（-x），对于F（x）有如下四个说法：①定义域是[-b，b]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增；其中正确说法的个数有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量=（x-1，2-y）向量=（y-2，x-1），若∥，则x²+y²=    ．

12. 难度：中等

已知一三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为的正三角形A′B′C′（如图），则三角形ABC中边长与正三角形A′B′C′的边长相等的边上的高为    ．

13. 难度：中等

如表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为   

2		4
1		2
		x
			Y
				Z

14. 难度：中等

设函数f（x）=|x-1|³-2^|x-1|的四个零点分别为x₁、x₂、x₃、x₄，则f（x₁+x₂+x₃+x₄）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设，求的最小值．

16. 难度：中等

某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	①	0.350
第3组	[170，175）	30	②
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185）	10	0.100
合计		100	1.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

17. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

18. 难度：中等

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x，ED=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？请说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（1+）²•a_n．
（1）求证数列{}是等比数列，并求其通项公式；
（2）设b，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设C_n=，求证：．

20. 难度：中等

过双曲线2x²-y²=1上一点A（1，1）作两条动弦AB，AC，且直线AB，AC的斜率的乘积为3．
（1）问直线BC是否可与坐标轴垂直？若可与坐标轴垂直，求直线BC的方程，若不与坐标轴垂直，试说明理由．
（2）证明直线BC过定点．

21. 难度：中等

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）