2012-2013学年浙江省绍兴市诸暨中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数a+bi=i（1-i）（其中a，b∈R，i是虚数单位），则a+b的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．2

2. 难度：中等

函数定义域为（ ）
A．（-∞，1）
B．（2，+∞）
C．（1，2）
D．（-∞，1）∪（2，+∞）

3. 难度：中等

“a=2”是“函数f（x）=ax-2^x有零点”的．（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

对两条不相交的空间直线a和b，则（ ）
A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂α
B．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥α
C．必定存在直线c，使得a∥c，b∥c
D．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c

5. 难度：中等

函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知两个非零向量与，定义|×|=||||sinθ，其中θ为与的夹角．若=（-3，4），=（0，2），则|×|的值为（ ）
A．-8
B．-6
C．6
D．8

7. 难度：中等

已知a＞b，ab=1，则的最小值是（ ）
A．2
B．
C．2
D．1

8. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点为F，准线l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数f（x）=xⁿ+x-1（（n∈N₊，n≥2）．则f（x）在区间（，1）内（ ）
A．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…单调递增
B．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…单调递减
C．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…非单调数列
D．不存在零点

二、填空题

11. 难度：中等

正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的体积为    ．

12. 难度：中等

如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为    ．

13. 难度：中等

已知ω＞0，函数在上单调递减，则ω的取值范围是    ．

14. 难度：中等

若点P在直线l₁：x+my+3=0上，过点P的直线l₂与圆C：（x-5）²+y²=16只有一个公共点M，且|PM|的最小值为4，则m=    ．

15. 难度：中等

按如图所示的程序框图运算，若输入x=2，则输出k的值是    ．

16. 难度：中等

设g（x） 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x） 在区间[0，1]上的值域为[-2，5]，则f（x） 在区间[0，3]上的值域为    ．

17. 难度：中等

设双曲线的右顶点A，x轴上有一点Q（2a，0），若双曲线上存在点P，使AP⊥PQ，则双曲线的离心率的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

已知公差不为零的等差数列{a_n}与等比数列b_n中，b₁=a₁=1，b₂=a₂，b₃=a₅．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足：，且c_n+1≥c_n（n∈N₊）恒成立，求实数λ取值范围．

20. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是线段PC上一点，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．

21. 难度：中等

如图，椭圆+=1（a＞b＞0）上的点到左焦点为F的最大距离是，已知点M（1，e）在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点且斜率为K的直线交椭圆于P、Q两点，其中P在第一象限，它在x轴上的射影为点N，直线QN交椭圆于另一点H．证明：对任意的K＞0，点P恒在以线段QH为直径的圆内．

22. 难度：中等

已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=-a+xlnb．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x，使x∈[，]且f（x）≤g（x）成立，求的取值范围．