2012-2013学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（ ）
A．2
B．
C．
D．-2

2. 难度：中等

已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac²＞bc²
B．若，则a＞b
C．若a³＞b³且ab＜0，则
D．若a²＞b²且ab＞0，则

3. 难度：中等

若m＞0且m≠1，n＞0，则“log_mn＜0”是“（m-1）（n-1）＜0”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

下列函数中既是偶函数，又是区间[-1，0]上的减函数的是（ ）
A．y=cos
B．y=-|x-1|
C．
D．y=|tanx|

5. 难度：中等

在△ABC中，tanA是以-4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形

6. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的图象如图所示，为了得到g（x）=sinωx的图象，可以将f（x）的图象（ ）

A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

7. 难度：中等

已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

以下命题：①若，则；②在方向上的投影为；③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则；④若，则向量与的夹角为钝角．则其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，若它的前n项和S_n有最大值，且，则使S_n＞0成立的最小自然数n的值为（ ）
A．10
B．19
C．20
D．21

10. 难度：中等

直线与函数y=sinx（x∈[0，π]）的图象相切于点A，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的极大值点，与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则=（ ）
A．
B．
C．
D．2

二、填空题

11. 难度：中等

已知n∈{-1，0，1，2，3}，若（-）ⁿ＞（-）ⁿ，则n=    ．

12. 难度：中等

设{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且a₁，a₃，a₆成等比数列，则a₅的值为    ．

13. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x-y的最大值为    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）在（1，2）内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间（1，2）至少二等分    次．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=（2n-1）•2ⁿ，我们用错位相减法求其前n项和S_n：由S_n=1×2+3×2²+5×2³+…（2n-1）•2ⁿ得2S_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…（2n-1）•2ⁿ⁺¹，两式项减得：-S_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，求得S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．类比推广以上方法，若数列{b_n}的通项公式为b_n=n²•2ⁿ，
则其前n项和T_n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2-a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{S_n}的前项和．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos²θ）在角α的终边上，点Q（sin²θ，-1）在角β的终边上，且=-1．
（1）求cos2θ；    
（2）求P，Q的坐标并求cos（α-β）的值．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 =（sinA，b+c），=（a-c，sinC-sinB），满足|+|=|-|．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设=（sin（C+），），=（2k，cos2A） （k＞1），•有最大值为3，求k的值．

19. 难度：中等

长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．

20. 难度：中等

已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（Ⅰ）求实数b，c的值；  
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

21. 难度：中等

有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”．
（Ⅰ）写出矩阵M及其逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M^-1对应的变换作用下所得△A₁B₁C₁的面积．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：（θ为参数）交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；
（Ⅱ）求sinα的取值范围．
（3）（选修4-5 不等式证明选讲）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．