2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合A=｛x|x²－2x＞0｝，B=｛x|－＜x＜｝，则(      )

A、A∩B=Æ               B、AB=R                 C、BA                       D、AB

2. 难度：简单

若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为 (       )

A、－4              （B）－                 （C）4               （D）

3. 难度：简单

为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(  )

A、简单随机抽样      B、按性别分层抽样

C、按学段分层抽样    D、系统抽样

4. 难度：简单

已知双曲线C:－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为       (        )

A、y=±x             （B）y=±x                   （C）y=±x            （D）y=±x

5. 难度：简单

执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于(            )

A、[－3,4]    B、[－5,2]

C、[－4,3]    D、[－2,5]

6. 难度：简单

如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(      )

A、cm³          B、cm³          C、cm³                 D、cm³

7. 难度：简单

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S_m－1＝－2，S_m＝0，S_m＋1＝3，则m＝ (    )

A、3                       B、4             C、5                 D、6

8. 难度：简单

某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为(    )

A、18+8π                   B、8+8π

C、16+16π                  D、8+16π

9. 难度：中等

设m为正整数，(x＋y)^2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)^2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝   (    )

A、5                     B、6                  C、7             D、8

10. 难度：中等

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为    (             )

A、＋＝1    B、＋＝1           

C、＋＝1    D、＋＝1

11. 难度：简单

已知函数f(x)＝，若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是(    )

A、（－∞，0]        B、（－∞，1]       C、[－2，1]       D、[－2，0]

12. 难度：中等

设△A_nB_nC_n的三边长分别为a_n,b_n,c_n，△A_nB_nC_n的面积为S_n，n=1,2,3,…

若b₁＞c₁，b₁＋c₁＝2a₁，a_n＋1＝a_n，b_n＋1＝，c_n＋1＝，则(    )

A、{S_n}为递减数列

B、{S_n}为递增数列

C、{S_2n－1}为递增数列，{S_2n}为递减数列

D、{S_2n－1}为递减数列，{S_2n}为递增数列 

二、填空题

13. 难度：简单

已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____。

14. 难度：简单

若数列{a_n}的前n项和为S_n＝a_n＋，则数列{a_n}的通项公式是a_n=______.

15. 难度：简单

设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______

16. 难度：中等

若函数f(x)=(1－x²)(x²＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°

(1)若PB=，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA

18. 难度：中等

（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A A₁，∠BA A₁=60°.

（Ⅰ）证明AB⊥A₁C;

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值。

19. 难度：中等

（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

20. 难度：困难

(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)²＋y²=1，圆N：(x－1)²＋y²=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

21. 难度：困难

（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x²＋ax＋b，g(x)＝e^x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2

（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。

22. 难度：中等

（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲   如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。

23. 难度：困难

（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程  

已知曲线C₁的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）

24. 难度：简单

（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.

（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.