2014届安徽省高三上学期第一次联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知函数，若，则实数等于（    ）

A．    B．   C．2    D．4

2. 难度：简单

在平面直角坐标系中，，点是以原点为圆心的单位圆上的动点，则的最大值是（      ）

A．4    B．3    C．2   D．1

3. 难度：中等

集合，，，，则集合的个数为（    ）

A．0    B．2     C．4    D．8

4. 难度：简单

我们把形如“1234”和“3241”形式的数称为“锯齿数”（即大小间隔的数），由1,2,3,4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为（    ）

A．    B．    C．   D． 

5. 难度：中等

函数，则函数与轴的交点个数是（     ）

A．1    B．2    C．3    D．4

6. 难度：简单

若且，则（     ）

A．    B．   C．   D． 

7. 难度：中等

已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（     ）

A．    B．    C．    D． 

8. 难度：简单

已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为（    ）

A．1    B．  C．2    D． 

9. 难度：中等

给出下列五个命题：

①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；

②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；

③一组数据为，0,1,2,3，若该组数据的平均值为1，则样本标准差为2；

④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，则；

⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是90.

其中真命题为（     ）

A．①②④   B．②④⑤   C．②③④    D．③④⑤

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若两点满足条件：

①都在函数的图像上；

②两点关于直线对称，则称点对是函数的一对“和谐点对”.

（注：点对于看作同一对“和谐点对”）

已知函数，则此函数的“和谐点对”有（    ）

A．0对    B．1对   C．2对   D．3对

二、填空题

11. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，则输出的结果是           .

12. 难度：简单

已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为            .

13. 难度：中等

设满足约束条件，若目标函数的最大值为4，则的最小值为             .

14. 难度：简单

已知偶函数对任意均满足，且当时，，则的值是           .

15. 难度：中等

如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于点，已知（平面）是绕旋转过程中的一个图形，有下列命题：

①平面平面；

②//平面；

③三棱锥的体积最大值为；

④动点在平面上的射影在线段上；

⑤二面角大小的范围是.

其中正确的命题是          （写出所有正确命题的编号）.

三、解答题

16. 难度：中等

某数学老师对本校2013届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1:50进行分层抽样抽取的20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到频率分布表如下：

（1）求表中的值及分数在范围内的学生数，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在范围为及格）；

（2）从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率.

17. 难度：中等

如图，四棱锥中，侧面是等边三角形，在底面等腰梯形中，，，，，为的中点，为的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面.

18. 难度：中等

定义在上的函数对任意都有（为常数）.

（1）判断为何值时为奇函数，并证明；

（2）设，是上的增函数，且，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

19. 难度：中等

已知点，曲线上的动点满足,定点，由曲线外一点向曲线引切线，切点为，且满足.

（1）求线段长的最小值；

（2）若以为圆心所作的圆与曲线有公共点，试求半径取最小值时圆的标准方程.

20. 难度：中等

已知数列中，，.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.