2014届湖北省教学合作高三10月联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则是（    ）

A．   B．   C．   D．

2. 难度：简单

已知，则（    ）

A．       B．      C．         D．

3. 难度：简单

下列给出的四个命题中，说法正确的是（     ）

A．命题“若，则”的否命题是“若，则”；

B．“”是“”的必要不充分条件；

C．命题“存在，使得”的否定是“对任意，均有”；

D．命题“若，则”的逆否命题为真.

4. 难度：简单

把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像所表示的函数为（     ）

A．   B． 

C．   D．

5. 难度：简单

已知的图像如图所示，则函数的图像是（    ）

6. 难度：简单

已知，，，，则的大小关系为（     ）

A．    B．   C．    D．

7. 难度：简单

某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需要13万元/辆，购买B型汽车需要8万元/辆，假设公司第一年A型汽车的纯利润为5万元/辆，B型汽车的纯利润为1.5万元/辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（     ）

A．8辆A型汽车，42辆B型汽车    B．9辆A型汽车，41辆B型汽车

C．11辆A型汽车，39辆B型汽车   D．10辆A型汽车，40辆B型汽车

8. 难度：中等

已知二次函数的导数为，，与轴恰有一个交点，则的最小值为（     ）

A．3   B．    C．2    D．

9. 难度：中等

设，若，则的最大值为（     ）

A．2   B．3   C．4    D．

10. 难度：困难

在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，

现给出四个命题：

①已知，则为定值；

②用表示两点间的“直线距离”，那么；

③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；

④已知三点不共线，则必有.

A．②③     B．①④      C．①②      D．①②④

二、填空题

11. 难度：简单

           .

12. 难度：简单

不等式组的解集为               .

13. 难度：简单

在极坐标系中，设是直线上任一点，是圆上任一点，则的最小值为              .

14. 难度：简单

若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为           

15. 难度：简单

定义在上的函数，满足，

（1）若，则           .

（2）若，则           （用含的式子表示）.

三、解答题

16. 难度：中等

函数的最小正周期为，其图像经过点

（1）求的解析式；

（2）若且为锐角，求的值.

17. 难度：困难

已知函数

（1）计算的值，据此提出一个猜想，并予以证明；

（2）证明：除点（2,2）外，函数的图像均在直线的下方.

18. 难度：中等

已知角是的内角，分别是其对边长，且.

（1）若，求的长；

（2）设的对边，求面积的最大值.

19. 难度：中等

已知二次函数满足且的图像在处的切线垂直于直线.

（1）求的值；

（2）若方程有实数解，求的取值范围.

20. 难度：中等

某校内有一块以为圆心，（为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.

（1）设（单位：弧度），用表示弓形的面积；

（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.

（参考公式：扇形面积公式，表示扇形的弧长）

21. 难度：中等

已知函数，，.

（1）求的最大值；

（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；

（3）证明不等式：.