2013-2014学年上海市徐汇区高三上学期期末考试（一模）理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：

①；        ②；

③；     ④.

其中是“垂直对点集”的序号是（    ）

(A) ①②     (B) ②③    (C) ①④      (D) ②④

二、解答题

2. 难度：简单

在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程的两个根，且，求△ABC的面积及AB的长.

3. 难度：中等

已知函数.

（1）若，求实数x的取值范围；

（2）求的最大值.

4. 难度：困难

某种海洋生物身体的长度（单位：米）与生长年限t（单位：年）

满足如下的函数关系：.（设该生物出生时t=0）

（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；

（2）设出生后第年，该生物长得最快，求的值.

5. 难度：困难

给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.

（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；

（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

6. 难度：困难

称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：

①；②.

（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；

（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

（3）记n阶“期待数列”的前k项和为：

（i）求证：；

（ii）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

三、填空题

7. 难度：简单

计算：=          .

8. 难度：简单

函数的最小正周期是          .

9. 难度：简单

计算：=          .

10. 难度：简单

已知，，则x=          .（结果用反三角函数表示）

11. 难度：简单

直线与直线，若的方向向量是的法向量，则实数a=          .

12. 难度：简单

如果()那么共有          项.

13. 难度：简单

若函数的图像经过(0,1)点，则函数的反函数的图像必经过点          .

14. 难度：简单

某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为          .（结论用数值表示）

15. 难度：中等

双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m=          .

16. 难度：困难

在平面直角坐标系中，动点P和点M(-2,0)、N(2,0)满足，则动点P(x,y)的轨迹方程为          .

17. 难度：简单

某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为          .

18. 难度：中等

如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为          .

19. 难度：中等

一个五位数满足且(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有          个五位数符合“正弦规律”.

20. 难度：简单

定义区间、、、的长度均为.已知实数.则满足的x构成的区间的长度之和为          .

四、选择题

21. 难度：中等

直线的倾斜角是（    ）

(A)    (B)

(C)    (D)

22. 难度：简单

为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（    ）

(A)向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

(B)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

(C)向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

(D)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

23. 难度：中等

函数是奇函数的充要条件是（    ）

(A)      (B)      (C)      (D)