2013-2014学年上海市杨浦区高三上学期学业质量调研理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

计算：          ．

2. 难度：中等

若直线的倾斜角是,则          (结果用反三角函数值表示).

3. 难度：中等

若行列式，则          .

4. 难度：中等

若全集，函数的值域为集合，则          .

5. 难度：中等

双曲线的一条渐近线方程为，则________.

6. 难度：简单

若函数的反函数为，则　　　　　．

7. 难度：简单

若将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于          .

8. 难度：中等

已知函数，若，则 _________.

9. 难度：中等

已知函数的最小正周期为，则 _________．

10. 难度：中等

某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买       吨．

11. 难度：中等

已知复数（为虚数单位），复数，则一个以为根的实系数一元二次方程是________.

12. 难度：中等

若的二项展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为         ．

13. 难度：中等

设，随机取自集合，则直线与圆有公共点的概率是         ．

14. 难度：中等

已知函数，定义函数 给出下列命题：

①； ②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是           .

二、选择题

15. 难度：中等

若空间三条直线满足，，则直线与（  ）.

A.一定平行    B.一定相交    C.一定是异面直线   D.一定垂直

16. 难度：中等

“成立”是“成立”的（  ）.

A.充分非必要条件．           B.必要非充分条件．

C.充要条件．                 D.既非充分又非必要条件．

17. 难度：中等

设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，,则的取值范围为（  ）.

A.   B.   C. ． D.

18. 难度：中等

定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（  ）.

A.（1,2）     B. ．  C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

已知正方体的棱长为.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求四棱锥的体积.

20. 难度：中等

已知向量，，其中.函数在区间上有最大值为4,设.

(1)求实数的值；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

21. 难度：中等

某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．

（1）求抛物线方程；

（2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？

22. 难度：困难

已知椭圆：.

(1)椭圆的短轴端点分别为(如图)，直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.

①证明直线与轴交点的位置与无关；

②若∆面积是∆面积的5倍，求的值；

(2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.

23. 难度：中等

设是数列的前项和，对任意都有成立， (其中、、是常数)．

（1）当，，时，求；

（2）当，，时，

①若，，求数列的通项公式；

②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.

如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有

，且．若存在，求数列的首项的所

有取值构成的集合；若不存在，说明理由．