2013-2014学年江苏南京金陵中学高三第一学期期中考试理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x²≤1｝，则A∪B＝        ．

2. 难度：简单

复数i²（1－2i）的实部是        

3. 难度：简单

命题“x∈R，x²+ax+1<0”的否定是               

4. 难度：简单

函数f（x）＝的定义域是       ．

5. 难度：简单

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃=2,a₃+a₄+a₅=8,则a₄+a₅+a₆=           .

6. 难度：简单

已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，向量c＝2a＋b．则向量c的模为        ．

7. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，已知y=x是双曲线－=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为        ．

8. 难度：简单

已知直线l⊥平面α，直线mÍ平面β，则下列四个命题：

①若α∥β,则l⊥m；   ②若α⊥β,则l∥m；

③若l∥m,则α⊥β；   ④若l⊥m,则α∥β.

其中正确命题的序号是        

9. 难度：简单

若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y=5下方的概率为            ．

10. 难度：简单

已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=         ．

11. 难度：中等

已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x²＋2x，若f(2－a²)>f(a)，则实数a的取值范围是             ．

12. 难度：简单

已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是           ．

13. 难度：简单

定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1，4]时，f(x)＝x²－2^x，则函数f(x)在[0，2013]上的零点个数是_____     ．

14. 难度：困难

已知函数f(x)=，若对任意的实数x_1,x₂,x_3,不等式f(x₁)+f(x₂)>f(x₃)恒成立，则实数k的取值范围是             ．

二、解答题

15. 难度：简单

已知向量a=(2cosx,2sinx)，b=(cosx,cosx),设函数f(x)=a•b-,求：

(1)f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若, 且α∈(,π). 求α.

16. 难度：简单

如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.

（1）求证:GH∥平面CDE；

（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，首项a₁＝1，公差d为整数，且满足a₁+3<a₃,a₂+5>a₄，数列{b_n}满足b_n=，其前n项和为S_n．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若S₂为S₁，S_m (m∈N^＊)的等比中项,求正整数m的值．

(3)对任意正整数k,将等差数列{a_n}中落入区间(2^k,2^2k)内项的个数记为c_k,求数列{c_n}的前n项和T_n

18. 难度：中等

如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l₁，在路南侧沿直线铺设线路l₂，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l₁与l₂接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．

（1）求W关于α的函数关系式；

（2）求W的最小值及相应的角α．

19. 难度：困难

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A₁，A₂，左、右顶点分别为B₁，B₂,左、右焦点分别为F₁，F₂．原点到直线A₂B₂的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF₂F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；

（3）P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点,直线PA₁，PA₂，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N 的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.

20. 难度：中等

已知函数f(x)=a^|x|+ (a>0,a≠1)

（1）若a>1，且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；

（2）设函数g(x)= f( x)，x∈[ 2，+∞），满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关.试求a的取值范围．

21. 难度：简单

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：

（1）l是⊙O的切线；

（2）PB平分∠ABD.

22. 难度：简单

已知矩阵M＝，N＝．

（1）求矩阵MN；

（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．

23. 难度：中等

在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系xoy的原点为极点，OX为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ρsin(θ+)=0, 求与直线l垂直且与曲线C相切的直线m的极坐标方程.

24. 难度：简单

设f(x)=x²x+13，实数a满足|xa|<1，求证：|f(x)f(a)|<2(|a|+1)．