2013-2014学年江苏省高三12月月考文科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合，，则  ．

2. 难度：中等

已知命题“若，则”，则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是         ．

3. 难度：中等

设是纯虚数，是实数，且等于         ．

4. 难度：中等

已知，则的值为         ．

5. 难度：中等

在等差数列中，若，则该数列的前15项的和为      ．

6. 难度：中等

已知直线⊥平面，直线m平面，有下面四个命题：

①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥

其中正确命题序号是         ．

7. 难度：中等

已知，，与的夹角为，，则与的夹角为     ．

8. 难度：中等

设均为正实数，且，则的最小值为         ．

9. 难度：中等

已知方程+－=0有两个不等实根和，那么过点的直线与圆的位置关系是         

10. 难度：中等

若动直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为         ．

11. 难度：中等

设，，且，则       ．

12. 难度：中等

函数在区间上是减函数,则的最大值为     ．

13. 难度：中等

已知椭圆与轴相切，左、右两个焦点分别为，则原点O到其左准线的距离为       ．

14. 难度：中等

设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

设向量，函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求使不等式成立的的取值集合．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点．

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离．

17. 难度：中等

某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

18. 难度：中等

已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数．

（1）用表示；

（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（3）若数列的前项和，记数列的前项和，求．

19. 难度：困难

如图所示，已知圆为圆上一动点，点是线段的垂直平分线与直线的交点．

（1）求点的轨迹曲线的方程；

（2）设点是曲线上任意一点，写出曲线在点处的切线的方程；（不要求证明）

（3）直线过切点与直线垂直，点关于直线的对称点为，证明：直线恒过一定点，并求定点的坐标．

20. 难度：困难

设，两个函数，的图像关于直线对称.

（1）求实数满足的关系式；

（2）当取何值时，函数有且只有一个零点；

（3）当时，在上解不等式．