2013-2014学年江苏苏州高级中学高三12月月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，6，8，10}，则M∩N＝       

2. 难度：中等

若,为虚数单位), 则=      ．

3. 难度：中等

函数的定义域为             ．

4. 难度：中等

不等式的解集是        ．

5. 难度：中等

函数，单调增区间是        ．

6. 难度：中等

在△ABC中，，则=          ．

7. 难度：中等

等差数列中，已知，，则的取值范围是        ．

8. 难度：中等

已知向量 是第二象限角，，则=     ．

9. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则；

④若，，，则．

上面命题中，真命题的序号是       （写出所有真命题的序号）．

10. 难度：中等

已知数列中，，对于任意，，若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，求＝　　　　　　。

11. 难度：中等

已知，若实数满足则的最小值为        .

12. 难度：中等

过圆x²＋y²＝1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则的最小值是           ．

13. 难度：中等

已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为           ．

14. 难度：中等

各项都为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则=           ．

二、解答题

15. 难度：中等

在三角形ABC中，已知，设∠CAB＝α，

（1）求角α的值；

（2）若，其中，求的值.

16. 难度：中等

如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

17. 难度：中等

如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛。据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。设∠，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元。

⑴写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；

⑵问中转点D距离A处多远时，S最小？

18. 难度：困难

如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。

⑴求椭圆T与圆O的方程；

⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。

①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；

②若，求与的方程。

19. 难度：困难

设函数（，）。

⑴若，求在上的最大值和最小值；

⑵若对任意，都有，求的取值范围；

⑶若在上的最大值为，求的值。

20. 难度：中等

设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题上：

命题：是等差数列；命题：等式对任意（）恒成立，其中是常数。

⑴若是的充分条件，求的值；

⑵对于⑴中的与，问是否为的必要条件，请说明理由；

⑶若为真命题，对于给定的正整数（）和正数M，数列满足条件，试求的最大值。