2013-2014学年河北衡水中学高三上学期期中考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

平面向量与的夹角为60°，则（     ）

A.     B.       C.4       D.12

2. 难度：中等

若集合则“”是“”的（     ）

A.充分不必要条件       B.必要不充分条件

C.充要条件             D.既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则(    )

A.2           B.4           C.6           D.8

4. 难度：中等

某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（     ）

A.     B.   C.     D.

5. 难度：中等

已知等差数列中，，记，S₁₃=(    )

A．78    B．68    C．56         D．52

6. 难度：中等

已知双曲线 的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（    ）

A．      B．       C．       D．

7. 难度：中等

在△中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值是(    )

A．          B.           C.        D.2

8. 难度：中等

若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（     ）

（A）4       （B）           （C）2         （D）

9. 难度：中等

在椭圆中，分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则该椭圆离心率的取值范围是(    )

A．    B．      C．        D．

10. 难度：中等

已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（　　）

A．    B.           C.        D.

11. 难度：中等

已知定义在R上的函数对任意的都满足，当 时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（      ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

12. 难度：中等

过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为        .

13. 难度：困难

已知动圆的圆心C在抛物线x²=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为   ．

14. 难度：中等

如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围__________.

15. 难度：中等

已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，           ②函数有2个零点

③的解集为       ④，都有

其中正确的命题是      .

三、解答题

16. 难度：中等

如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.

（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；

（2）设,求面积的最大值及此时的值.

17. 难度：困难

数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：.

18. 难度：中等

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

（1）求证：PC⊥AC；

（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；

（3）求点B到平面MAC的距离．

19. 难度：压轴

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数的取值范围.

20. 难度：困难

已知函数f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．

（I）求实数a的取值范围；

（II）若x₁∈（0，），x₂∈（2，+∞）且a∈[，2]时，求证：f（x₂）﹣f（x₁）≥ln2+．

21. 难度：中等

如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，若四边形BCON是平行四边形.

（Ⅰ）求AM的长；

（Ⅱ）求sin∠ANC．

22. 难度：中等

已知函数.

（1）若的解集为，求实数的值.

（2）当且时，解关于的不等式.