2013-2014学年河南省原名校高三上学期期联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集A＝{x｜－1≤2x＋1≤3}，B＝{x｜≤0}，则A∪B＝（     ）

A．{x｜－1≤x＜2}                  B．{x｜－1≤x≤2}

C．{x｜0≤x≤2}                    D．{x｜0≤x≤1}

2. 难度：中等

设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f（2．25）＜0，f（2．75）＞0，f（2．5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（     ）

A．（2，2．25）                     B．（2．25，2．5）

C．（2．5，2．75）                  D．（2．75，3）

3. 难度：中等

已知α，β为不重合的两个平面，直线mα，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（    ）

A．充分而不必要条件                B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                    D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

函数f（x）＝Asin（ωx＋）（其中A＞0，ω＞0，｜｜＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（     ）

A．向右平移个长度单位             B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位             D．向左平移个长度单位

5. 难度：中等

已知{}为等差数列，其公差为－2，且a₇是a₃与a₉的等比中项，为{}的前n项和，n∈N﹡，则S₁₀的值为（      ）

A．－110        B．－90           C．90              D．110

6. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（     ）

A．m≥4或m≤－2                 B．m≥2或m≤－4

C．－2＜m＜4                     D．－4＜m＜2

7. 难度：中等

已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，－1）,则｜2－｜的最大值与最小值的和是（      ）

A．4        B．6               C．4              D．16

8. 难度：中等

已知函数f（x）＝＋＋＋…＋＋（n＞2且n∈N﹡）设是函数f（x）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是（    ）

A．   B．＝0      C．＞0      D．＜0

9. 难度：中等

给出下列四个命题：

①命题p：∈R，sinx≤1，则：∈R，sinx＜1．

②当a≥1时，不等式｜x－4｜＋｜x－3｜＜a的解集为非空．

③当x＞0时，有lnx＋≥2．

④设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝1－i．

其中真命题的个数是（       ）

A．0            B．1              C．2               D．3

10. 难度：中等

已知F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（    ）

A．（1，＋∞）   B．（1，2）        C．（1，1＋）   D．（2，1＋）

11. 难度：中等

已知＝，把数列{}的各项排列成如下的三角形状，

记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）＝（    ）

A．        B．          C．           D．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数f（x）＝a（a＞0）．使得＝λ·（＋）（λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P（1，f（1）），Q（k，f（k）），则k的取值范围为（      ）

A．（2，＋∞）   B．（3，＋∞）     C．[4，＋∞）      D．[8，＋∞）

二、填空题

13. 难度：中等

的展开式中常数项为___________________．

14. 难度：中等

设z＝2x＋y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为_________．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y＝kx（k＞0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为__________．

16. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，＝λ（λ∈R），｜｜＝｜｜＝2，｜－｜＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形，则·的值为__________．

三、解答题

17. 难度：困难

已知α，β为锐角，且sinα＝，tan（α－β）＝－．求cosβ的值．

18. 难度：困难

已知各项均为正数的数列{}满足－－2＝0，n∈N﹡，且是a₂，a₄的等差中项．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若＝，＝b₁＋b₂＋…＋，求的值．

19. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C为三个内角，a、b、c为相应的三条边，＜C＜，且＝．

（1）判断△ABC的形状；

（2）若｜＋｜＝2，求·的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）＝－（a＋2）x＋lnx.

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；

（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e）上的最小值为－2，求a的取值范围．

21. 难度：困难

已知A（－5，0），B（5，0），动点P满足｜｜，｜｜，8成等差数列．

（1）求P点的轨迹方程；

（2）对于x轴上的点M，若满足｜｜·｜｜＝，则称点M为点P对应的“比例点”.问：对任意一个确定的点P，它总能对应几个“比例点”?

22. 难度：中等

设函数f（x）＝＋，g（x）＝ln（2ex）（其中e为自然对数的底数）

（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；

（2）是否存在一次函数h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由：

3）数列{}中，a₁＝1，＝g（）（n≥2），求证：＜＜＜1且＜．