2013-2014学年湖北省等八校高三第一次联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

方程的一个根是（   ）

A.   B.   C.   D.

2. 难度：简单

集合，，若,则（   ）

A.   B.   C.   D.

3. 难度：中等

下列命题，正确的是（   ）

A.命题:，使得的否定是：，均有.

B.命题：若,则的否命题是：若，则.

C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.

D.命题：，则的逆否命题是真命题.

4. 难度：中等

已知满足，则关于的说法，正确的是（  ）

A.有最小值1   B.有最小值   C.有最大值   D.有最小值

5. 难度：简单

函数有极值点，则（   ）

A.       B.

C.        D.

6. 难度：简单

一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（   ）

A.            B.

C.            D.

7. 难度：简单

△中，角成等差数列是成立的（   ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件         D.既不充分也不必要条件

8. 难度：简单

在弹性限度内，弹簧所受的压缩力与缩短的距离按 胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩需的压缩力，若把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（   ）功（单位：）

A.   B.   C.0.686   D.0.98

9. 难度：中等

在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且∥平面，记与平面所成的角为，下列说法错误的是（    ）

A.点的轨迹是一条线段     B.与不可能平行

C.与是异面直线     D.

10. 难度：中等

若直线与曲线有四个公共点，则的取值集合是（   ）

A.   B.    C.   D. 

二、填空题

11. 难度：简单

平面向量满足，且，则向量的夹角为        ．

12. 难度：简单

已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径与正四面体高的关系是      ．

13. 难度：简单

将函数的图象向左平移个单位后得到的函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为           .

14. 难度：中等

无穷数列中，是首项为10，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列（其中），并且对于任意的，都有成立.若，则m的取值集合为____________.记数列的前项和为,则使得

的的取值集合为____________.

15. 难度：中等

已知⊙O₁和⊙O₂交于点C和D，⊙O₁上的点P处的切线交⊙O₂于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O₂上的一点，若PE=2，EA=1，，那么⊙O₂的半径为       .

16. 难度：中等

在极坐标系中，曲线上有3个不同的点到曲线的距离等于2，则.

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间．

18. 难度：中等

设等差数列的前项和为，满足：．递增的等比数列前项和为，满足：．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设数列对，均有成立，求．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，底面△为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面⊥平面.

(Ⅰ)求证：为棱的中点；（Ⅱ）为何值时，二面角的平面角为.

20. 难度：中等

如图，山顶有一座石塔，已知石塔的高度为.

（Ⅰ）若以为观测点，在塔顶处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角为，用表示山的高度；

（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线上，其中是塔顶在地面上的射影.已知石塔高度,当观测点在上满足时看的视角(即)最大，求山的高度.

21. 难度：困难

已知是关于的方程的根，

证明：（Ⅰ）; （Ⅱ）.

22. 难度：困难

已知函数（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；

（Ⅲ）求证：.