2013-2014学年湖南省益阳市高三第一次模拟考试理数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若为虚数单位，则等于     （    ）

A、            B、            C、1             D、－1

2. 难度：中等

已知集合，，且都是全集的子集，则右图中阴影部分表示的集合是         （    ） 

A、    B、     C、     D、

3. 难度：中等

按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为       （    ）

A．            B．      C．          D．

4. 难度：中等

给出下列命题：

向量，满足，则，的夹角为；

 是〈，〉为锐角的充要条件；

将函数的图象按向量平移，

得到函数的图象；

若，则为等腰三角形。

以上命题正确的个数是      （　　）

A、1个            B、2个              C、3个               D、4个

5. 难度：中等

已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是（　　）

A、            B、              C、1             D、 

6. 难度：中等

有下列四种说法：

①命题：“,使得”的否定是“,都有”；

②已知随机变量服从正态分布，，则；

③函数图像关于直线对称，且在区间上是增函数；

④设实数，则满足：的概率为。其中错误的个数是      （　　）

A、0             B、1              C、2              D、3。

7. 难度：中等

已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为           （    ）

A、         B、         Ｃ、        D、。

8. 难度：中等

已知为Ｒ上的可导函数，且，均有，则有        （　　）

A、，

B、，

C、，

D、，。

二、填空题

9. 难度：中等

如图，割线PBC经过圆心O，PB＝OB＝1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连结PD交圆O于点E，则PE＝                  

10. 难度：中等

若直线的极坐标方程为，曲线：上的点到直线的距离为，则的最大值为                

11. 难度：中等

若不等式，对满足的一切实数恒成立，则实数的取值范围是                   

12. 难度：中等

设，则二项式的展开式中，项的系数为              

13. 难度：中等

设实数x,y满足条件：；；，目标函数的最大值为12，则的最小值是               

14. 难度：中等

设数列，都是正项等比数列，，分别为数列与的前项和，且，则＝              

15. 难度：中等

已知点Ｆ为抛物线的焦点，O为原点，点Ｐ是抛物线准线上一动点，Ａ在抛物线上，且＝４，则＋的最小值是                 

16. 难度：中等

设集合，对于，记，且，由所有组成的集合记为：，

（1）的值为________；

（2）设集合，对任意，，则的概率为________．

三、解答题

17. 难度：中等

在中,角A、B、C的对边分别为，已知向量，，且。

（1）求角的大小；  

（2）若，求面积的最大值。（12分）

18. 难度：中等

在2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔５０辆就抽取一辆的抽样方法，抽取了４０名驾驶员进行调查，将他们在某段高速公路上的车速（km/t）分成６段：，，，，，后得到如图的频率分布直方图。问：

（1）该公司在调查取样中，用到的是什么抽样方法？

（2）求这４０辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；

（3）若从车速在中的车辆中任取２辆，求抽出的２辆中速度在中的车辆数的分布列及其数学期望。（１２分）

19. 难度：中等

如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：；

（3）求二面角的大小．

20. 难度：中等

（13分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。

（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽是多少？

（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小，则应如何设计拱高h和拱宽？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高。）

（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少。

21. 难度：困难

（13分） 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，

①若直线ＡＢ的斜率为，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；

②当Ａ、B运动时，满足＝，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。

22. 难度：困难

已知函数=。

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）求函数在区间上的最小值；

（3）在（1）的条件下，设=+，

求证：   （），参考数据：。（13分）