2013-2014学年湖南长沙重点中学高三上学期第三次月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z满足z（1+i）=i，则复数z为（   ）

A．   B．   C．1+I   D．1-i

2. 难度：中等

幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为(　　)

A．1           B．2           C．3         D．4

3. 难度：中等

已知随机变量服从正态分布，若，则(     )

A.0.3            B.0.4           C.0.6            D.0.7

4. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是 (    )

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．

B．“”是“”的必要不充分条件．

C．命题“使得”的否定是：“对均有”．

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．

5. 难度：中等

已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（   ）A．            B．

C．     D．

6. 难度：中等

如右图所示，是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则(     )

A．    B．

C．      D．

7. 难度：中等

已知函数，若,且，则的最小值是（   ）

A.-16                   B.-12                 C.-10                  D.-8

8. 难度：简单

设函数y=f(x)在(－,)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：

,取函数，若对任意的x∈(－,)，恒有f_k(x)＝f(x)，则(    )

A. k的最大值为2    B. k的最小值为2

C. k的最大值为1    D. k的最小值为1

二、填空题

9. 难度：中等

如图,是⊙O上的四个点,过点B的切线与的延长线交于点E.若,则         .

10. 难度：中等

在极坐标系中,直线与曲线相交于两点,为极点,则的大小为        .

11. 难度：中等

已知x、y、z∈R,且，则的最小值为       .

12. 难度：中等

正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时二面角大小为         .

13. 难度：中等

高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为         .

14. 难度：中等

已知函数，，

（1）与的图象关于直线      对称；

（2）有下列4个命题：

①若，则的图象关于直线对称；

②则5是的周期；

③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；

④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.

其中正确的命题为         .

15. 难度：中等

如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a_n.

（1）         ；

（2）         .

三、解答题

16. 难度：中等

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率；

(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望.

17. 难度：中等

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C垂合.

（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；

（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M—BDE的体积.

18. 难度：困难

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①对任意，恒成立；②对任意，存在与n无关的常数M，使恒成立．

（1）若是等差数列，是其前n项和，且试探究数列与集合W之间的关系；

（2）设数列的通项公式为，且，求M的取值范围．

19. 难度：中等

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排水管，在路南侧沿直线排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通．已知AB = 60m，BC = 60m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为．矩形区域内的排管费用为W．

（1）求W关于的函数关系式；

（2）求W的最小值及相应的角．

20. 难度：困难

（1）已知定点、，动点N满足（O为坐标原点），，，，求点P的轨迹方程.

（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；

（ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

21. 难度：困难

已知，，且直线与曲线相切．

（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）（ⅰ）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；

（ⅱ）求证：．