2013-2014学年湖南长沙重点中学高三上学期第四次月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合则满足的集合个数是（   ）

A.2           B.3           C.4           D.8

2. 难度：中等

是直线与直线平行的（   ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若非零向量满足//，且，则（   ）

A.4           B.3            C.2            D.0

4. 难度：中等

已知函数：，当时，下列选项正确的是  (     )    A.                  B. 

C.                  D.

5. 难度：中等

已知平面外不共线的三点到α的距离都相等,则正确的结论是(     )

A.平面必平行于

B.平面必与相交

C.平面必不垂直于

D.存在△的一条中位线平行于或在内

6. 难度：中等

已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于（    ）

A.3           B.4         C.          D.

7. 难度：中等

平面上动点满足，，,则一定有（    ）

A.      B.

C.      D.

8. 难度：中等

在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（     ）

A.5           B.4         C.3        D.2

9. 难度：中等

在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标            .

二、填空题

10. 难度：中等

已知点在圆直径的延长线上，切圆于点， 的平分线分别交、于点、.则的度数=      .

11. 难度：中等

若存在实数使成立，求常数的取值范围          .

12. 难度：中等

计算：=         .

13. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是          .

14. 难度：中等

桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有          种不同的排法.（用数字作答）

15. 难度：中等

定义：，其中是虚数单位，，且实数指数幂的运算性质对都适应.若，，则        ．

16. 难度：中等

已知函数 其中,.

（1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围           ；

（2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为           .

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，.求:

（1）函数的最小值及取得最小值的自变量的集合；

（2）函数的单调增区间.

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足.

（1）求证：；

（2）求点的距离；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

19. 难度：中等

长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示.其中有的社长是高中学生，的社长是初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学生.

（1）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率；

（2）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望.

20. 难度：中等

2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号.某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为（=100万辆），第年（2013年为第1年，2014年为第2年，依次类推）年初的拥有量记为，该年的增长量和与的乘积成正比，比例系数为其中=200万.

（1）证明：；

（2）用表示；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内.

21. 难度：中等

定义：对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线.现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为.

（1）写出的渐近线方程（不用证明）；

（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明.

（3）求值：.

22. 难度：中等

设函数，若时，有极小值，

（1）求实数的取值；

（2）若数列中，，求证：数列的前项和；

（3）设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定的大小关系？证明你的结论.