2013-2014学年福建莆田一中高三上学期第一学段考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，，则=(　 )

A．            B．

C．，或      D．，或

2. 难度：中等

已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是 (   )

A．          B．          C．          D．

3. 难度：中等

已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为(　 )

A.  B.    C.  D.

4. 难度：中等

的三个内角对应的边分别，且成等差数列，则角等于（   ）

A.      B.       C.    D.

5. 难度：中等

函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（   ）

A.向右平移个长度单位                        B.向右平移个长度单位

C.向左平移个长度单位                 D.向左平移个长度单位

6. 难度：中等

已知为坐标原点，直线与圆分别交于两点．若，则实数的值为（   ）

A．1          B．         C．           D．

7. 难度：中等

过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为（   ）

A．        B．          C．          D．

8. 难度：中等

三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（   ）

A．           B．         C．          D．

9. 难度：中等

设向量，，定义一运算：,已知，．点Q在的图像上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是（   ）

A．          B．          C．       D．

10. 难度：中等

对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：

①，；②，；③，；④，，则在区间上的存在唯一“友好点”的是（   ）

A．①②      B．③④    C．②③     D．①④

二、填空题

11. 难度：中等

的展开式中常数项为           ．

12. 难度：中等

已知随机变量，若，则        ．

13. 难度：中等

已知变量满足则的最大值是          ．

14. 难度：中等

已知，，若偶函数满足（其中m，n为常数），且最小值为1，则         ．

15. 难度：中等

对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：

①对任意的，总有；②；③若都有 成立；

则称函数为函数．

下面有三个命题：

（1）若函数为函数，则；（2）函数是函数；

（3）若函数为函数，假定存在，使得，且， 则；         其中真命题是________．（填上所有真命题的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的最小正周期为．

（I）求值及的单调递增区间；

（II）在△中，分别是三个内角所对边，若，，，求的大小．

17. 难度：中等

已知函数在处的切线与轴平行．

(1)求的值和函数的单调区间；

(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围．

18. 难度：中等

某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．

(Ⅰ)求这次铅球测试成绩合格的人数；

(Ⅱ)用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；

(Ⅲ)经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.

19. 难度：困难

已知椭圆：的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点．点，记直线的斜率分别为，当最大时，求直线的方程．

20. 难度：困难

已知函数，（）

（Ⅰ）若函数存在极值点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当且时，令，()，()为曲线上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．

21. 难度：中等

曲线在矩阵的变换作用下得到曲线．

（Ⅰ）求矩阵；

（Ⅱ）求矩阵的特征值及对应的一个特征向量．

22. 难度：中等

已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为．

（Ⅰ）求曲线直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值．

23. 难度：中等

若为正实数且满足．

（1）求的最大值为；（2）求的最大值．