2013-2014学年辽宁省抚顺市六校联合体高三上学期期中考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，则(  )

A.        B.          C.          D.

2. 难度：中等

复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为(  )

A.　　　    B.　　　    C.         D.

3. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(  )

A.        B.     C.       D.

4. 难度：中等

某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是,则(  )

A.         B.         C.             D.

5. 难度：简单

△ABC所在平面上一点Ｐ满足＋＋＝,则△PAB的面积与△ABC的面积比为(  )

A.2:3          B.1:3          C.1:4            D.1:6

6. 难度：中等

已知等差数列前项和为，且+=13，=35，则=(  )  

A.8       B.9          C.10          D.11

7. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为(   )

A.        B.        C.1     D.

8. 难度：中等

给出下列四个结论：

①若命题，则；

②“”是“”的充分而不必要条件；

③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0”；

④若，则的最小值为．

其中正确结论的个数为(  )

A         B.       C.             D.

9. 难度：中等

函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象(  )

A.关于点对称            B.关于直线对称

C.关于点对称            D.关于直线对称

10. 难度：中等

设的展开式的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为(  )

A.         B.         C.９      D.

11. 难度：中等

已知的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数=–，则可求得+++=(   )

A.–4025        B.        C.–8050        D.8050

12. 难度：中等

已知函数的定义域为，且对于任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同零点，则实数的取值范围为(  )

A.        B.        C.       D.

二、填空题

13. 难度：中等

函数，则_______________.

14. 难度：中等

为等比数列，若和是方程＋＋＝的两个根，则＝________.

15. 难度：中等

若实数满足,则关于的方程有实数根的概率是_______________.

16. 难度：中等

设半径为2的球面上四点，且满足=,=,=,则的最大值是_______________.

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，q=（，1），p=（，）且．

(1)求的值；

(2)求三角函数式的取值范围?

18. 难度：中等

某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？

(2)在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；

(3)在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：困难

如图，是等边三角形，，，将沿折叠到的位置，使得．

(1)求证：；

(2)若，分别是,的中点，求二面角的余弦值．

20. 难度：困难

已知函数（）．

(1)求的单调区间；

⑵如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；

⑶讨论关于的方程的实根情况．

21. 难度：困难

已知椭圆C:的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当 时，求实数取值范围．

22. 难度：中等

如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD.

(Ⅰ)求证：DE是圆O的切线；

(Ⅱ)如果AD=AB=2，求EB.

23. 难度：中等

平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．

(Ⅰ)求直线的极坐标方程；

(Ⅱ)若直线与曲线相交于两点，求．

24. 难度：中等

设函数．

(I)解不等式；

(II)求函数的最小值．