2015届内蒙古高二上期中考试理数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}， B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)

A．4　　　　　　　　  B．3              C．2                   D．1

2. 难度：中等

已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题；则实数a的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞)          B．[1，4]         C．[e，4]              D．(－∞，1]

3. 难度：简单

命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

4. 难度：中等

命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

5. 难度：中等

下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　)

A．a＞b＋1　　　　    B．a＞b－1        C．a2＞b2              D．a3＞b3

6. 难度：中等

“－3<m<5”是“方程表示椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件

C．充要条件            D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆＋＝1的两焦点，过点F₂的直线交椭圆于A，B两点．在△AF₁B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)

A．6               B．5                C．4                 D．3

8. 难度：中等

在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是(　　)

A．y＝－x－              B．y＝lgx＋

C．y＝＋   D．y＝x²－2x＋3

9. 难度：中等

函数y＝(x＞1)的最小值是(　　)

A．2＋2           B．2－2       C．2                D．2

10. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件且目标函数z₁＝2x＋3y的最大值为a，目标函数z₂＝3x－2y的最小值为b，则a＋b＝(　　)

A．10                 B．－2           C．8                   D．6

11. 难度：中等

设a，b满足2a＋3b＝6，a＞0，b＞0，则＋的最小值为(　　)

A.　　　　　　 　B.               C.                D．4

12. 难度：中等

设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为(　　)

A．(1，1＋)　      B．(1+，＋∞)  C．(1，3)          D．(3，＋∞)

二、填空题

13. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F₁P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．

14. 难度：中等

在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B＝           

15. 难度：中等

椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F₁，F₂.若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．(离心率)

16. 难度：中等

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B＝________．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，设P是圆x²＋y²＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程。

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b²＋c²＝a²＋bc.

(1)求角A的大小；(2)若sinB·sinC＝sin²A，试判断△ABC的形状．

19. 难度：中等

为椭圆上任意一点，、为左右焦点．如图所示：

（1）若的中点为，求证；

（2）若，求的值．

20. 难度：中等

变量x、y满足

(1)设z＝，求z的最小值；

(2)设z＝x²＋y²，求z的取值范围．

21. 难度：中等

某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．

(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)

(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？

22. 难度：中等

已知数列满足：．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．