2015届河南省西区高二第三次月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知△ABC，内角A、B、C的对边分别是，则A等于（    ）

A．45°    B．30°   C．45°或135°    D．30°或150°

2. 难度：中等

已知等差数列的前n项和为等于（    ）

A．－90   B．－27   C．－25   D．0

3. 难度：中等

若a、b、c，则下列不等式成立的是   （    ）

A．             B．

C．      D．

4. 难度：中等

椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率（    ）

A．   B．   C．   D．

5. 难度：中等

已知数列{a_n}是逐项递减的等比数列，其首项a₁<0，则其公比q的取值范围是（    ）

A．（－，－1）    B．（－1，0）      C．（0，1）        D．（1，+）

6. 难度：中等

如图，长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成角的余弦值是（    ）

A．   B．    C．         D．0

7. 难度：中等

若等于     （    ）

A．2   B．－2   C．   D．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}，如果是首项为1公比为2的等比数列，那么a_n=（    ）

A．2ⁿ⁺¹－1   B．2ⁿ－1   C．2^n－1   D．2ⁿ +1

9. 难度：简单

已知实数x，y满足条件，则z=x+3y的最小值是（    ）

A．   B．   C．12   D．－12

10. 难度：中等

下列函数中，最小值为4的是   （    ）

A．          B．

C．    D．

11. 难度：中等

若△ABC的三边为a,b,c，它的面积为，则内角C等于（  ）

A．30°   B．45°       C．60°     D．90°

12. 难度：中等

一船自西向东匀速航行上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为   （    ）

A．海里/小时    B．海里/小时

C．海里/小时    D．海里/小时

二、填空题

13. 难度：中等

对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是          .

14. 难度：中等

点P是抛物线y²=4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是          .

15. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式是设其前n项和为S_n，则S₁₂          .

16. 难度：简单

已知命题P：不等式；

命题q：在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件.

有下列四个结论：①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真

其中正确结论的序号是          .（请把正确结论填上）

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，.

（I）求cosC；   （II）若

18. 难度：中等

解关于x的不等式其中.

19. 难度：中等

在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，原点O是BC的中点，A点坐标为，D点在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°.

（Ⅰ）求D点坐标；

（Ⅱ）求的值.

20. 难度：困难

为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2006年开始出口，当年出口a吨，以后每一年出口量均比上一年减少10%.

（Ⅰ）以2006年为第一年，设第n年出口量为a_n吨，试求a_n.

（Ⅱ）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2006年最多出口多少吨？（保留一位小数）参考数据：0.9¹⁰≈0.35.

21. 难度：困难

已知等差数列的前n项和为，且，.

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和.

22. 难度：困难

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证: 直线l过定点，并求出该定点的坐标.