2015届辽宁沈阳二中高二12月月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题：①至少有一个x使x²＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x²＋2x＋1＝0成立；

③对任意的x都有x²＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x²＋2x＋1＝0成立．

其中是全称命题的有(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．0个

2. 难度：中等

已知命题p：“∀x∈[1,2]，x²－a≥0”，命题q：“∃x∈R”，x²＋2ax＋2－a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≤－2或a＝1       B．a≤－2或1≤a≤2

C．a≥1                D．－2≤a≤1

3. 难度：中等

P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则等于(　 　)

A．     B．     C．    D．

4. 难度：中等

对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有＝x＋y＋z (x、y、z∈R)，

则x＋y＋z＝1是P、A、B、C四点共面的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件           D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y²＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 (　　)

A．2     B．6  C．4  D．12

6. 难度：中等

下列四个条件中，p是q的必要不充分条件的是 (　　)

A．p：a>b　q：a²>b²

B．p：a>b　q：2^a>2^b

C．p：ax²＋by²＝c为双曲线q：ab<0

D．p：ax²＋bx＋c>0　q：＋＋a>0

7. 难度：中等

 抛物线y²＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为(　　)

A．1　　   　 B.　   　　C.　　   　D.

8. 难度：中等

设椭圆＋＝1和x轴正半轴交点为A，和y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为 (　　)

A.ab                   B.ab       C.ab                             D．2ab

9. 难度：中等

已知双曲线的两个焦点为F₁(－，0)、F₂(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是(　　)

A．    B．     C.            D.

10. 难度：中等

 已知、是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（    ）

A.                         B.                             C.                           D.

11. 难度：中等

已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（    ）

A.      B.    C.       D.

12. 难度：中等

已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为

A. B.   C.  D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，P是椭圆上一点，∠F₁PF₂＝90°，求椭圆离心率的最小值为          

14. 难度：中等

过抛物线焦点的弦，过两点分别作其准线的垂线，垂足分别为，倾斜角为，若，则

①；．②，

③，  ④  ⑤

其中结论正确的序号为                

15. 难度：简单

若椭圆＋＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为________．

16. 难度：中等

设有两个命题：①关于x的不等式mx²＋1>0的解集是R；②函数f(x)＝log_mx是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在空间四边形SABC中，AC、BS为其对角线，O为△ABC的重心，

试证：（1）(；(2)．

18. 难度：中等

已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若条件p是条件q的充分条件，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

设直线与双曲线交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点的轨迹方程．

20. 难度：中等

在抛物线y²＝4x上恒有两点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的范围．

21. 难度：中等

已知双曲线方程2x2－y2＝2.

(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；

(2)过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于Q1，Q2两点，且Q1，Q2两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

22. 难度：困难

已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点，

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B满足（其中0为原点），求k的取值范围。