2013-2014学年上海市静安区高三上学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则          .

2. 难度：简单

已知 ，，则的值是          .

3. 难度：简单

当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是          .

4. 难度：简单

关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为          .

5. 难度：简单

某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有          种. （结果用数值表示）

6. 难度：简单

不等式的解集是          .

7. 难度：简单

若（其中、为有理数），则          .

8. 难度：简单

已知方程，则当时，用列举法表示方程的解的集合是          .

9. 难度：困难

如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝2，||＝，若＝λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ的值为       .

10. 难度：简单

设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为          .

11. 难度：简单

已知，且，则的值用表示为          .

12. 难度：困难

已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为          .

13. 难度：简单

若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为          .

14. 难度：简单

已知不等式的解集为，则          ，且的值为          .

二、选择题

15. 难度：简单

“”是“直线与直线互相垂直”的(     )

A．充要条件；　　　　　　　　B．充分不必要条件；

C．必要不充分条件；　　　　　D．既不充分也不必要条件.

16. 难度：简单

已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(     )

① 命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.

② 命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.

③ 命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.

A．①③；     B．②；     C．②③     D．①②③

17. 难度：中等

已知函数的值域是，则实数的取值范围是  (     )

A．；   B．；  C．；  D．.

18. 难度：困难

已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是(     )

A．或；   B．0；   C．0或；  D．0或.

三、解答题

19. 难度：困难

《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢²）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.

（1）计算弧田的实际面积；

（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）

20. 难度：中等

（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；

（2）设为正数，且，求证：.

21. 难度：困难

已知双曲线（其中）.

（1）若定点到双曲线上的点的最近距离为，求的值；

（2）若过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，其中，是双曲线的右焦点.求△的面积.

22. 难度：困难

设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．

（1）求证：数列（）为等比数列；

（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；

（3）（理）若（1）中无穷等比数列（）的各项和存在，记，求函数的值域.

23. 难度：困难

已知函数（其中且），是的反函数.

（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；

（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），

求证：.