2013-2014学年北京市东城区高三上学期期末统一检测理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，，则（     ）

（A）                       （B）

（C）           （D）

2. 难度：简单

在复平面内，复数的对应点位于（     ）

（A）第一象限                   （B）第二象限

（C）第三象限                  （D）第四象限

3. 难度：简单

设，则“”是“直线与直线平行”的（     ）

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

执行右图所示的程序框图，输出的a的值为（     ）

（A）           （B）

（C）           （D）

5. 难度：简单

在△中，，，，则（     ）

（A）         （B）

（C）        （D）

6. 难度：中等

已知直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围为（     ）

（A）                          （B）

（C）          （D）

7. 难度：中等

在直角梯形中，，，,，点在线段 上，若，则的取值范围是（     ）

（A）           （B）       （C）       （D）

8. 难度：简单

定义设实数满足约束条件则 的取值范围是（     ）

（A）   （B）   （C）     （D）

二、填空题

9. 难度：简单

若函数为奇函数，当时，，则的值为     ．

10. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为              ．

11. 难度：简单

若点为抛物线上一点，则抛物线焦点坐标为        ；点到抛物线的准线的距离为        ．

12. 难度：中等

函数的最大值为       ．

13. 难度：简单

如图，已知点,点在曲线上，若阴影部分面积与△面积相等时，则     ．

14. 难度：中等

设等差数列满足：公差，，且中任意两项之和也是该数列中的一项.若，则    ； 若，则的所有可能取值之和为       .

三、解答题

15. 难度：困难

已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：困难

已知是一个公差大于0的等差数列，且满足, .

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.

17. 难度：困难

如图，在三棱柱中，平面，，， ，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

18. 难度：困难

已知，函数．

（Ⅰ）当时，求的最小值；

（Ⅱ）若在区间上是单调函数，求的取值范围．

19. 难度：困难

已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）为坐标原点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点，，若，求△的面积.

20. 难度：困难

若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.

（Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；

（Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；

（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，数列为等差数列.