2013-2014学年北京市朝阳区高三上学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

函数的定义域为（   ）

A．   B．       C．     D．

2. 难度：中等

如果点在以点为焦点的抛物线上，则（   ）

A．          B．                C．            D．

3. 难度：简单

命题：；命题：，，则下列命题中为真命题的是（   ）

A．       B．

C．     D．

4. 难度：中等

在△中，，，，则△的面积等于（   ）

A．            B．

C．或    D．或

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出结果是．若，则所有可能的取值为（   ）

A．        B．

C．            D．

6. 难度：中等

已知正方形的四个顶点分别为，，，，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（   ）

A．     B．

C．         D．

7. 难度：中等

已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（   ）

A．         B．       C．       D． 1

8. 难度：困难

已知数列满足下面说法正确的是（   ）

①当时，数列为递减数列；

②当时，数列不一定有最大项；

③当时，数列为递减数列；

④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.

A. ①②    B. ②④            C. ③④        D. ②③

二、填空题

9. 难度：简单

某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_____．

10. 难度：简单

在各项均为正数的等比数列中，若，则       ．

11. 难度：中等

直线与圆相交于,两点，若，则实数的值是_____．

12. 难度：中等

一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是     ；表面积是       ．

13. 难度：简单

实数满足若恒成立，则实数的最大值是       ．

14. 难度：中等

所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．

如：；

；

．

已经证明：若是质数，则是完全数，.请写出一个四位完全数        ；又，所以的所有正约数之和可表示为；

，所以的所有正约数之和可表示为；

按此规律，的所有正约数之和可表示为           ．

三、解答题

15. 难度：简单

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）若，求的值．

16. 难度：简单

甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：

（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；

（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为，求随机变量的分布列和期望．

17. 难度：困难

如图，在三棱锥中，平面，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设分别为的中点，点为△内一点，且满足，

求证：∥面；

（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．

18. 难度：压轴

已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）若函数在上为增函数，求的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆两焦点坐标分别为,，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知点，直线与椭圆交于两点．若△是以为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线的方程．

20. 难度：困难

已知是正数，，，．

（Ⅰ）若成等差数列，比较与的大小；

（Ⅱ）若，则三个数中，哪个数最大，请说明理由；

（Ⅲ）若，，（），且，，的整数部分分别是求所有的值．