2013-2014学年北京市石景山区高三年级第一学期期末文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，那么（    ）

A．       B．      C．    D．

2. 难度：简单

复数（    ）

A．      B．    C．     D．

3. 难度：简单

已知向量，.若，则实数的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

4. 难度：简单

已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（    ）

A．     B．

C．    D．

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（    ）

A．   B．   C．    D．

6. 难度：中等

已知直线与圆相交于两点，那么弦的长等于  （    ）

A．           B．          C．           D．

7. 难度：中等

设数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件

8. 难度：困难

已知函数，区间， 集合，则使成立的实数对有（    ）

A．个   B．个   C．个   D．无数个

二、填空题

9. 难度：简单

已知，且，则         ．

10. 难度：简单

函数的最小值为              ．

11. 难度：中等

二元一次不等式组所表示的平面区域的面积为             ，的最大值为         ．

12. 难度：中等

某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的侧面积为             ．

13. 难度：困难

已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则______．

14. 难度：中等

已知三角形，，，那么三角形面积的最大值为         ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．

16. 难度：中等

北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为分，规定测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格．

现从某校高三年级的名学生中随机抽取名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：

（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；

（Ⅱ）根据以上名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取名学生，再从这名学生中选出人．

（ⅰ）求在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率；

（ⅱ）求选出的名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率．

17. 难度：困难

如图，已知平面，四边形是矩形，，，点，分别是，的中点．

（Ⅰ）求三棱锥的体积；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）若点为线段中点，求证：∥平面．

18. 难度：压轴

已知函数（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.

19. 难度：压轴

已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

20. 难度：困难

已知集合，对于数列中.

（Ⅰ）若三项数列满足，则这样的数列有多少个？

（Ⅱ）若各项非零数列和新数列满足首项，（），且末项，记数列的前项和为，求的最大值．