2013-2014学年哈师大、东北师大、辽宁实验中学高三第一次联合模拟理数学卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合，则（   ）

A.R                 B.                C.                D.

2. 难度：简单

若复数满足，则复数（    ）

A.                 B.              C.               D.

3. 难度：中等

在的二项展开式中，第二项的系数为（   ）

A.10                B. －10            C. 5             D. －5

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①；②；③；④.则输出的函数是（      ）

A.          B.

C.            D.

5. 难度：简单

直线均不在平面内，给出下列命题：

①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.则其中正确命题的个数是（      ）

A. 1               B.2                  C.3                    D.4

6. 难度：简单

等差数列的前项和为，若，则的值是（    ）

A.21                B.24                 C.28                 D.7

7. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（     ）

A.                 B.             C.              D.

8. 难度：简单

A. 0                    B.                     C.                    D.

9. 难度：困难

变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解有无数个，则实数的取值集合是（       ）

A.                B.             C.              D.

10. 难度：简单

一个五位自然数，当且仅当时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（   ）

A.110                B.137                 C.145                   D.146

11. 难度：中等

双曲线的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若此圆在点处的切线的斜率为，则双曲线的离心率为

A.                 B.                  C.                   D.

12. 难度：困难

已知函数，若存在使得函数的值域是，则实数的取值范围是（       ）

A.                 B.             C.              D.

二、填空题

13. 难度：中等

若向量满足，且与的夹角为，则           .

14. 难度：简单

若，则           .

15. 难度：中等

正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为                .

16. 难度：中等

已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为            .

三、解答题

17. 难度：中等

三角形ABC中，内角A、B、C所对的边a、b、c成公比小于1的等比数列，且.（1）求内角B的余弦值；（2）若，求三角形的面积.

18. 难度：压轴

如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA底面ABCD，且SA＝2，AD＝DC＝1

（1）若点E在SD上，且证明：平面；

（2）若三棱锥S－ABC的体积，求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值的大小

19. 难度：中等

某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：

API
空气质量	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中重度污染	重度污染
天数	4	13	18	30	9	11	15

（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为w）的关系式为：

，试估计在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；

（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

附：

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			100

20. 难度：压轴

椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆M交于A、C两点，直线与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形

（1）求椭圆M的方程；

（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；

（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值

21. 难度：困难

已知函数（e为自然对数的底数）

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，存在实数，使得成立，求实数的取值范围

22. 难度：中等

如图，PA、PB是圆O的两条切线，A、B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且求证：

（1）；（2）∽

23. 难度：中等

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线经过定点P（3，5），倾斜角为（1）写出直线的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线与曲线C相交于A、B两点，求的值

24. 难度：困难

设函数

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围