2013-2014学年四川绵阳高中高三第二次诊断性考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合A={x|x+2>0}，集合B={-3，-2，0，2}，那么(_RA)∩B=   (    )

A．    B．{-3，-2}           C．{-3}      D．{-2，0，2}

2. 难度：简单

设i是虚数单位，复数的虚部为（    ）

A．-i       B．-1                 C．i         D．1

3. 难度：中等

执行右图的程序，若输出结果为2，则输入的实数的值是（    ）

A．3           B．                C．4            D．2

4. 难度：简单

已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是（     ）

A．lα，mβ，且l⊥m

B．lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥n

C．mα，nβ，m//n，且l⊥m

D．lα，l//m，且m⊥β

5. 难度：中等

一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（     ）

A．8+             B．8+              C．8+             D．8+

6. 难度：简单

圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为（      ）

A．x²+(y-1)²=1        B．x²+(y-)²=3

C．x²+(y-)²=    D．x²+(y-2)²=4

7. 难度：简单

已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（      ）

A．       B．        C．            D．

8. 难度：中等

某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（     ）

A．1860      B．1320       C．1140            D．1020

9. 难度：中等

已知O是锐角△ABC的外心，若(x，y∈R)，则（       ）

A．x+y≤-2        B．-2≤x+y<-1          C．x+y<-1        D．-1<x+y<0

10. 难度：困难

设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb-lga<lgx<lgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大可能值时，=

A．        B．6          C．       D．4

二、填空题

11. 难度：简单

tan300º=_______．

12. 难度：简单

已知直线l₁：x+(1+k)y=2-k与l₂：kx+2y+8=0平行，则k的值是_______．

13. 难度：简单

若展开式的常数项是60，则常数a的值为       ．

14. 难度：简单

已知P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，且cosα=，sin(α+β)=，则此椭圆的离心率为        ．

15. 难度：困难

是定义在D上的函数，若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是k型函数．给出下列说法：

①不可能是k型函数；

②若函数是1型函数，则的最大值为；

③若函数是3型函数，则；

④设函数(x≤0)是k型函数，则k的最小值为．

其中正确的说法为         ．（填入所有正确说法的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量a=，b=，设函数=ab．

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．

17. 难度：困难

已知首项为的等比数列{a_n}是递减数列，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若，数列{b_n}的前n项和T_n，求满足不等式≥的最大n值．

18. 难度：简单

据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：

	应该取消	应该保留	无所谓
在校学生	2100人	120人	y人
社会人士	600人	x人	z人

已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：困难

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90º，AE⊥平面ABCD，EF//CD，BC=CD=AE=EF==1．

（Ⅰ）求证：CE//平面ABF；

（Ⅱ）求证：BE⊥AF；

（Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面角E-MD-A的大小为？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

20. 难度：困难

已知椭圆C的两个焦点是(0，-)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点F恰好是椭圆C的右顶点．

（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l₁、l₂，l₁交抛物线E于点A、B，l₂交抛物线E于点G、H，求的最小值．

21. 难度：困难

已知函数．

（Ⅰ）若是上是增函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式≤x+1对x∈R恒成立；

（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x₀>0，使得>x₀+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x₀；如果不存在，请说明理由．