2013-2014学年安徽省“皖西七校”高三年级联合考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数（是虚数单位）在复平面内的对应点位于（    ）

A.第一象限           B.第二象限             C.第三象限            D.第四象限

2. 难度：中等

命题“若，则一元二次方程有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（    ）

A.0         B.2         C.4       D.不确定

3. 难度：困难

若，且与的夹角为，当取得最小值时，实数的值为（    ）

A.2                B.                  C.1                     D.

4. 难度：中等

一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位:），则该几何体的体积为（    ）

A.      B.       C.       D.

5. 难度：简单

已知集合，集合，则（    ）

A.           B.            C.              D.

6. 难度：简单

已知数列是等差数列，，设为数列的前项和，则（    ）

A.2014                B.                 C.3021                  D.

7. 难度：简单

已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（    ）

①存在一条直线；                ②存在一个平面；

③存在两条平行直线；

④存在两条异面直线.

A.①③           B.②④            C.①④           D.②③

8. 难度：困难

设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数，是的导函数，当时；；当且时，，则函数在区间上的零点个数为（    ）

A.2            B.4             C.6              D.8

9. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（    ）

A.               B.                C.                 D.

10. 难度：困难

设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是（    ）

A.               B.                 C.2                 D.4

二、填空题

11. 难度：简单

已知，则          .

12. 难度：中等

已知函数（且）的图象恒过定点，则不等式组所表示的平面区域的面积是          .

13. 难度：中等

已知，且，则的最小值是          .

14. 难度：中等

在三棱锥中，，，，则与平面所成角的余弦值为      .

15. 难度：困难

方程的曲线即为函数的图象，对于函数，下列命题中正确的是          .（请写出所有正确命题的序号）

①函数在上是单调递减函数；   ②函数的值域是；

③函数的图象不经过第一象限；   ④函数的图象关于直线对称；

⑤函数至少存在一个零点.

三、解答题

16. 难度：困难

已知函数，其中.

（Ⅰ）若，求函数的极值点；

（Ⅱ）若在区间内单调递增，求实数的取值范围.

17. 难度：中等

已知函数的部分图象如图所示，其中点为最高点，点为图象与轴的交点，在中，角对边为，，且满足.

（Ⅰ）求的面积；

（Ⅱ）求函数的单调递增区间.

18. 难度：困难

如图1，已知的直径，点、为上两点，且，，为弧的中点．将沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在弧上是否存在点，使得平面？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角的正弦值.

19. 难度：困难

学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．

（Ⅰ）求水面宽；

（Ⅱ）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？

（Ⅲ）现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？

20. 难度：困难

在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.

（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

（Ⅱ）已知，是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

21. 难度：困难

已知数列的前项和为满足.

（Ⅰ）函数与函数互为反函数，令，求数列的前项和；

（Ⅱ）已知数列满足，证明:对任意的整数，有.