2013-2014学年安徽省六校教育研究会高三2月联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（   ）

（A）        （B）        （C）     （D） 2

2. 难度：简单

已知命题：“是”的充分必要条件”；命题：“存在，使得”，下列命题正确的是（    ）

(A)命题“”是真命题

(B)命题“”是真命题

(C)命题“”是真命题

(D)命题“”是真命题

3. 难度：中等

执行如图所示的程序框图．若输出， 则框图中① 处可以填入（   ）

(A) ？     (B) ？    (C) ？    (D) ？

4. 难度：简单

在极坐标系中，点和圆的圆心的距离为(   )

(A)       (B)  2       (C)     (D)

5. 难度：困难

在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（   ）

(A)    (B)      (C)  (D) 

6. 难度：简单

数列的首项为3，为等差数列且，若,,则（   ）

(A)0            (B)3           (C)8          (D)11

7. 难度：中等

某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（   ）

（A）         （B）        (C)         (D)

8. 难度：简单

有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为（    ）

（A）   （B） （C）    （D）

9. 难度：困难

设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足，则该双曲线的离心率为（    ）

(A)          (B)            (C)             (D)

10. 难度：简单

若实数满足，则的最小值为（    ）

(A)             (B)2            (C)         (D)8

二、填空题

11. 难度：中等

已知则二项式的展开式中的系数为           ．

12. 难度：中等

如图所示，第个图形是由正边形拓展而来（），则第个图形共有____ 个顶点．

13. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数的取值范是          .

14. 难度：中等

抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是              ．

15. 难度：困难

对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“好区间”．给出下列4个函数：

①；②；③；④．

其中存在“好区间”的函数是      ．（填入所有满足条件函数的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，，函数

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）在中，设角，的对边分别为，若，且，求角的大小．

17. 难度：困难

等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结、 (如图2).

（Ⅰ）求证:平面;

（Ⅱ）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.

18. 难度：困难

设各项均为正数的数列的前项和为，满足且恰好是等比数列的前三项．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）记数列的前项和为,若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．

19. 难度：简单

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为

次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标
元件A	8	12	40	32	8
元件B	7	18	40	29	6

（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；

（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；

（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．

20. 难度：困难

已知为函数图象上一点，为坐标原点，记直线的斜率．

(Ⅰ)若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果对任意的，，有，求实数的取值范围．

21. 难度：困难

在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线有一个公共的焦点，且过点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值；

（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作，设交于点，

证明:当点在椭圆上移动时，点在某定直线上.